1、二圆内接四边形的性质与判定定理课时过关能力提升基础巩固1下列说法正确的有()圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角;圆内接四边形的对角相等;圆内接四边形不能是梯形;在圆的内部的四边形叫圆内接四边形.A.0个B.1个C.2个D.3个解析是圆内接四边形的性质定理2,故正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,故不正确;圆的内接四边形可以是梯形,故不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形,故不正确.答案B2圆内接平行四边形的对角线()A.互相垂直B.互相垂直平分C.互相平分且相等D.相等且平分每组对角解析圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等.答案C3如图,已知圆内接四边
2、形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点P,对角线AC和BD交于点Q,则图中共有相似三角形的对数为()A.4B.3C.2D.1解析利用圆周角和圆内接四边形的性质,可得PCDPAB,QCDQBA,AQDBQC,PACPBD,因此共有4对.答案A4如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AHCD,如果HAD=30,那么B=()A.90B.120C.135D.150解析AHCD,AHD=90.HAD=30,D=90-HAD=60.又四边形ABCD内接于圆O,B=180-D=120.答案B5已知四边形ABCD内接于圆O,ABC=237,则D=.解析圆的内接四边形的对角互补,A+C=180.又ABC=
3、237,A=40,B=60,C=140.又B+D=180,D=180-60=120.答案1206如图,已知AB为O的直径,C,D是O上的两点,BAC=20,AD=CD,则DAC=.解析AB为O的直径,ACB=90.ABC=90-BAC=90-20=70.又四边形ABCD内接于圆O,ABC+ADC=180,ADC=180-ABC=180-70=110.则在ADC中,DAC+DCA=70.又AD=CD,DAC=DCA.DAC=35.答案357如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPD=13,则BCAD的值为.解析由于PBC=PDA,P=P,则PADPCB,故PBP
4、D=BCAD=13.答案138如图,O1与O2相交于点A,B,且O2经过点O1,若D=40,则C=.解析如图,连接O1A,O1B,则四边形AO1BD内接于O2,故AO1B+D=180.又D=40,AO1B=140,ACB=12AO1B=12140=70.答案709如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.分析连接EF.由B+AEF=180,B+C=180,可得AEF=C.即四边形EFCD的一个外角等于它的内角的对角,故C,D,E,F四点共圆.证明如图,连接EF.四边形ABCD为平行四边形,B+C=180.四边形ABFE内接
5、于圆,B+AEF=180.AEF=C.C,D,E,F四点共圆.10如图,AB,CD都是圆的弦,且ABCD,F为圆上一点,延长FD,AB使它们交于点E.求证:AEAC=AFDE.分析连接BD,则BD=AC,即证AEBD=AFDE,只要证明EBDEFA.证明如图,连接BD,ABCD,BD=AC.A,B,D,F四点共圆,EBD=F.又DEB=FEA,EBDEFA.DEAE=BDAF.DEAE=ACAF,即AEAC=AFDE.能力提升1如图,在O中,弦AB的长等于半径,若DAE=80,则ACD=()A.30B.45C.50D.60解析四边形ABCD内接于圆O,DAE=BCD=80.弦AB的长等于半径,
6、弦AB所对圆心角为60.ACB=1260=30.ACD=BCD-ACB=80-30=50.答案C2如图,已知AB是O的直径,点E为BC的中点,AB=4,BED=120,则图中阴影部分的面积之和为()A.3B.23C.32D.1解析连接AE,OD,OE,AB是直径,AEB=90.又BED=120,AED=30.AOD=2AED=60.OA=OD,AOD是等边三角形,OAD=60.点E为BC的中点,AEB=90,AB=AC.ABC是边长为4的等边三角形,EDC是边长为2的等边三角形,BOE=EOD=60,BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE所围成的部分的面积,阴影部分的面积之和=SEDC=3
7、422=3.答案A3如图,以AB为直径的圆与ABC的两边分别交于E,F两点,若AB=4,ACB=60,则EF=.解析如图,连接AE,AB为圆的直径,AEB=AEC=90.又ACB=60,CA=2CE.由圆内接四边形性质易得,CFE=CBA.又C=C,CEFCAB.EFBA=CECA=12.又AB=4,EF=2.答案24如图,两圆相交于A,B两点,过点A的直线交两圆于点C,D,过点B的直线交两圆于点E,F,连接CE,DF,若C=95,则D=.解析A,B,C,E四点共圆,ABE+C=180,ABE=180-95=85.又ABE是四边形ABFD的外角,D=ABE=85.答案855已知圆内接四边形AB
8、CD的边长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD的面积等于.解析由于四点共圆,B+D=180.cos B=-cos D.根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D,AC2=22+62-226cos B=22+62+226cos D,AC2=42+42-244cos D,cos D=-17,sin D=sin B=437.四边形ABCD的面积=12ABBCsin B+12ADDCsin D=83.答案836如图,两圆相交于A,B两点,过点A作两直线CD,EF分别交两圆于点C,D和点E,F.若EAB=DAB.求证:
9、CD=EF.分析连接CB,BF,要证CD=EF,只需证明CBDEBF即可.证明如图,连接CB,BF,因为四边形ABEC为圆内接四边形,所以2=CEB.又因为1=ECB,1=2,所以CEB=ECB.所以BC=BE.又因为BCD=BEF,D=F,BC=BE,所以CBDEBF.所以CD=EF.7如图,已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,B=60,点F在AC上,且AE=AF.求证:(1)B,D,H,E四点共圆;(2)CE平分DEF.证明(1)在ABC中,B=60,BAC+BCA=120.AD,CE是角平分线,HAC+HCA=60.AHC=180-HAC-HCA=120.EHD=AHC=120
10、.EBD+EHD=180.B,D,H,E四点共圆.(2)如图,连接BH,则BH为ABC的平分线,得HBD=30.由(1)知B,D,H,E四点共圆,CED=HBD=30,AHE=EBD=60.又AE=AF,AD平分BAC,EFAD.CEF=30.CEF=CED.CE平分DEF.8如图,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过点P作正方形的边的垂线,垂足分别为点E,F,G,H.你能判断出点E,F,G,H是否在同一个圆上吗?试证明你的判断.分析根据正方形的对称性,可以判断,此四个点在以O为圆心的圆上,于是连接线段OE,OF,OG,OH,再设法证明这四条线段相等.解E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下:如图,连接OE,OF,OG,OH.在OBE,OBF,OCG,OAH中,OB=OC=OA.四边形PEBF为正方形,BE=BF=CG=AH,OBE=OBF=OCG=OAH=45.OBEOBFOCGOAH.OE=OF=OG=OH.由圆的定义,可知E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.