1、2极坐标系21极坐标系的概念1.了解极坐标系的概念.2.理解点的极坐标的不唯一性.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系1建立极坐标系需要哪几个要素？提示：建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)单位长度；(4)角度的正方向，四者缺一不可极坐标的概念对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径，叫作点M的极角，有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，)特
2、别地：当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)，(，(2k1)(kZ)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示2要使平面内的点和极坐标一一对应，应作何规定？提示：建立极坐标后，如果规定0，02或者，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了根据点的位置确定点的极坐标已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各顶点的极坐标思路点拨因正六边形的中心到各顶点的距离都等于边长a，可以其中心为极点，以中心及一顶点所在的射线为极轴建立极坐标系，然后找出各顶点的极角即
3、可解以正六边形中心O为极点，OC所在射线为极轴建立如图所示的极坐标系由正六边形的性质得：C(a，2k)，D，E，F(a，2k)，A，B，kZ.规律方法在极坐标系下确定各点的极坐标，关键是由几何图形的性质确定该点的极径和极角，注意点的极坐标形式并不唯一变式训练1已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定0，02)解：如图所示，由题意知|OA|OB|OC|OD|，xOA，xOB，xOC，xOD.正方形的顶点的极坐标分别为A，B，C，D.由极坐标确定点的位置在极坐标系中，作出以下各点：A(4，0)，B，C，D.思路点拨解如图，A，B，C，D四个点
4、分别是唯一确定的规律方法由极坐标确定点的位置的步骤：取定极点O；作方向为水平向右的射线Ox为极轴；以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置变式训练2在极坐标系中，若等边ABC的两个顶点是A、B，那么顶点C的坐标可能是()A.BC(2，) D(3，)解析：选B.如图，由题设，可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点又|AB|4，ABC为正三角形，|OC|2，AOC，C对应的极角或，即C点的极坐标可能为或.极坐标系的实际应用(12分)某大学校园的部分平面示意图如图所示用点O、A、B、C
5、、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标(限定0，02且极点为(0，0)思路点拨解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标规范解答以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示6分由|OB|600 m，AOB30，OAB90，得|AB|300 m，|OA|300 m，8分同样求得|OD|2|OF|300 m，|OE|OC|300 m10分所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，)，F.12分规律方法在极坐标系中，由点
6、的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在0，0，2)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的互动探究3(1)本例中，如果限定0，R，如何求点A、C、D的坐标？(2)本例中，如果点H，kZ表示地铁入口，试问点H在点O的什么位置？解：(1)由例3解析知A(300，2k)，C，D，其中kZ.(2)由于H，kZ，结合图形可知，点H在点O正南200 m.极坐标系下两点间的距离在极坐标系中，已知两点A、B，求A、B两点间的距离思路点拨数形结合，根据A，O，B的位置关系求解解AOB，A，O，B三点共线A、B两点间的距离为|AB|314.规律方法在极坐标系下，确定给定点的位置，若给定
7、两点与极点共线，则极角相差2k(kZ)时，距离为两极径的差；极角相差k(kZ)时，距离为两极径的和；若给定两点与极点不共线时，可借助余弦定理求出两点间的距离变式训练4在极坐标系中，求A，B两点间的距离解：A，B在过极点且与极轴成的直线上，它们位于极点的两侧，|AB|51217.A基础达标.在极坐标系中，下列点与点M(1，)为同一点的是()A(1，) B(1，)C(1，) D(1，)解析：选D.由极坐标的定义可以得，在极坐标系中，(1，)与M(1，)表示同一点.点P关于极轴的对称点的极坐标为()A. BC. D解析：选D.在极坐标系中确定点P位置，再作出其关于极轴的对称点P知D正确在极坐标系中，
8、点M的位置，可按如下规则确定()A作射线OP，使xOP，再在射线OP上取点M，使|OM|2B作射线OP，使xOP，再在射线OP上取点M，使|OM|2C作射线OP，使xOP，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|2D作射线OP，使xOP，再在射线OP上取点M，使|OM|2解析：选B.当0时，点M(，)的位置按下列规则确定：作射线OP，使xOP，在OP的反向延长线上取|OM|，则点M就是坐标(，)的点，故选B.将极轴Ox绕极点顺时针旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|4，则0，0，2)时点M的极坐标为_解析：如图所示0，OM4，极角0，2)M点的极坐标为M.答案：B能力提升在极坐标系
9、中，已知点M(5，)，下列所给出的点不能表示点M的坐标的是()A(5，) B(5，)C(5，) D(5，)解析：选A.由(，)，(，2k)、(，(2k1)，kZ表示同一个点可知B、C、D与M重合若120，12，则点M1(1，1)与点M2(2，2)的位置关系是()A关于极轴所在直线对称B关于极点对称C关于过极点垂直于极轴的直线对称D关于过极点与极轴成角的直线对称解析：选A.因为点(，)关于极轴所在直线对称的点为(，)，由此可知点(1，1)和(2，2)满足120，12，是关于极轴所在直线对称，故选A.下列点在极轴上方的是()A(3，0) BC. D解析：选D.分别作出各点，观察可知在极坐标系中，已
10、知点A(2，)，B(，)，O(0，0)，则ABO为()A正三角形B直角三角形C等腰锐角三角形D等腰直角三角形解析：选D.作出各点观察可知已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于()A. BC. D解析：选C.A、B在极坐标系中的位置，如图，则由图可知AOB.在AOB中，|AO|BO|3，所以，由余弦定理得|AB|2|OB|2|OA|22|OB|OA|cos9929189(1)2.|AB|.点M到极轴所在直线的距离为_解析：依题意，点M到极轴所在直线的距离为d6sin3.答案：3.已知极坐标系中，极点为O，02，M，则在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_解析：如图所示，|OM|3，xOM，在直线OM上取点P，Q，使|OP|7，|OQ|1，显然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.点P，Q都满足条件且xOP，xOQ.故满足条件的点的极坐标为或.答案：或.已知A、B两点的极坐标分别是、，求A、B两点间的距离和AOB的面积解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|2.SAOB|12sin(12)|24sin|244.已知ABC三个顶点的极坐标分别是A，B，C，试判断ABC的形状，并求出它的面积解：AOB，且|AO|BO|，AOB是等边三角形，|AB|5，又C，|BC|，|AC|，|AC|BC|，ABC为等腰三角形，SABC55.
