1、高考资源网（） 您身边的高考专家第4章 3 定积分的简单应用A级基础巩固一、选择题1.如图所示，阴影部分的面积是(C)A2B2CD解析S(3x22x)dx，即F(x)3xx3x2，则F(1)31，F(3)9999.SF(1)F(3)9.故应选C.2一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0s到t3s时间段内的位移是(B)A31 mB36 mC38 mD40 m解析S(3t22t)dt(t3t2)333236(m)，故应选B.3直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(D)A2B4C2D4解析如图所示由解得或第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S(4
2、xx3)dx(2x2)|844.4一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车(A)A405B540C810D945解析停车时v(t)0，则270.9t0，t30s，sv(t)dt (270.9t)dt(27t0.45t2)|405.5若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a，那么从3小时到6小时期间内的产量为(D)A B3C63 D63解析dt63，故应选D.6如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(C)A.B.C.D.解析本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立O(0
3、,0)，B(1,1)，S阴影(x)dx(x)|，P.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值二、填空题7由曲线y22x，yx4所围图形的面积是18_.解析如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，2)，(8,4)因此所求图形的面积S2(y4)dy取F(y)y24y，则f (y)y4，从而SF(4)F(2)18.8由两条曲线yx2，yx2与直线y1围成平面区域的面积是.解析解法1：如图，y1与yx2交点A(1,1)，y1与y交点B(2,1)，由对称性可知面积S2(x2dxdxx2dx).解法2: 同解法1求得A(1,1)，B(
4、2,1)，取y为积分变量，由对称性知，S2(2)dy2dy2(y|).三、解答题9计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解析由解得x0及x3.从而所求图形的面积S(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.10一质点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(单位：m/s)运动求：(1)在t4s的位置；(2)在t4s内运动的路程解析(1)在时刻t4时该点的位置为(t24t3)dt(t32t23t)|(m)，即在t4s时刻该质点距出发点m.(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0,1及3,4上的v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，所以t4s时的路程为S(t24t
5、3)dt|(t24t3)dt|(t24t3)dt(t32t23t)|(t32t23t)|(t32t23t)|4(m)即质点在4s内运动的路程为4m.B级素养提升一、选择题1直线y2x，x1，x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为(A)AB32CD3解析由V(2x)2dx4x2dx4x2dx4x3|(81).2如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(A)ABCD解析由已知得阴影部分面积为4x2dx4.所以此点取自阴影部分的概率等于.二、填空题3由直线yx和曲线yx3(x0)所
6、围成的图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积为.解析由求得或所以Vx2dxx6dxx2dxx6dx.4已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f(1)f (1)3.解析切点M在切线yx2上，f(1)12，又切线斜率k，f (1)，f(1)f (1)3.三、解答题5求由曲线yx2，直线yx所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积解析曲线yx2与直线yx所围成的图形如图中阴影部分设所得旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于直线yx，x1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线yx2，直线x1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转
7、体的体积(设为V2)因为V1x2dx(1303)，V2(x2)2dxx4dx，所以VV1V2.C级能力拔高如图，设点P在曲线yx2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线yx2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x2与曲线yx2所围成图形的面积为S2.(1)当S1S2时，求点P的坐标；(2)当S1S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值解析(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则点P的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3，S2(x2tx)dx2tt3，因为S1S2，所以t32tt3，解得t，故点P的坐标为(，)(2)令SS1S2，由(1)知，St32tt3t32t，则St22，令S0，得t220，因为0t2，所以t，又当0t时，S0；当t0；故当t时，S1S2有最小值，最小值为，此时点P的坐标为(，2)- 7 - 版权所有高考资源网