1、高考资源网（） 您身边的高考专家第1章 3 反证法A级基础巩固一、选择题1反证法是(A)A从结论的反面出发，推出矛盾的证法B对其否命题的证明C对其逆命题的证明D分析法的证明方法解析反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定原结论的真实性2否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C)A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解3(2019青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(C)A甲B乙C丙D丁
2、解析若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙4用反证法证明命题“若sincos1，则sin0且cos0”时，下列假设的结论正确的是(A)Asin0或cos0Bsin0且cos0且cos0解析用反证法证明，只需要否定命题的结论，故假设应为“sin0或cos0”5(2019济南高二检测)设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于(B)A0BCD1解析三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则abc1，与已知矛盾6若a、b、c不全为零，必须且只需(D)Aabc0Ba、b、c中
3、至少有一个为0Ca、b、c中只有一个是0Da、b、c中至少有一个不为0解析a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.二、填空题7某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证|f(x1)f(x2)|.那么其反设应该是如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|.解析根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性这里进行
4、假设时，注意把函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)剥离出来作为已知条件8用反证法证明命题“若p1p22(q1q2)，则关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为两个方程都没有实数根三、解答题9求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60.证明已知A、B、C为ABC的三个内角求证：A、B、C中至少有一个不小于60.证明：假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60，三式相加得ABC180.这与三角形内角和定理矛盾，A、B、C都小于60的假设不能成立一个三角形中，至少有一个内角不小于60.10(2019深圳高二检测)设函数
5、f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根解析假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即abc为奇数，所以ab为偶数，又an2bnc为奇数，所以n与anb均为奇数，又ab为偶数，所以ana为奇数，即(n1)a为奇数，所以n1为奇数，这与n为奇数矛盾所以f(x)0无整数根B级素养提升一、选择题1(2018龙岩期中)“已知函数f(x)x2axa(aR)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是(B)A假设|f(1)|且|f(2)|B假
6、设|f(x)|且|f(2)|0.将p两边平方，得ap2b2p，所以.因为a、b、p均为有理数，所以必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误所以必为无理数6已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负实数根思路分析(1)可直接用定义证明单调性；(2)应用反证法要注意准确作出反设证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x10.ax2x11，且ax10，所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0.又0ax01，所以01，即x02，与假设矛盾故x00不成立，故方程f(x)0没有负实数根C级能力拔高已知数列an满足：a1，anan10，anan10，故an(1)n1.bnaa1()n1()n1()n1.(2)用反证法证明假设数列bn存在三项br，bs，bt(rsbsbt，则只可能有2bsbrbt成立2()s1()r1()t1，两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts.由于rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列- 6 - 版权所有高考资源网
