1、第2讲空间向量与立体几何1.(2019苏州调研,22)如图,在四棱锥P-ABCD中,BCPB,ABBC,ADBC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB=3.(1)求二面角P-CD-A的余弦值;(2)若点E在棱PA上,且BE平面PCD,求线段BE的长.2.(2019淮安五校联考,24)如图,在四棱锥P-ABCD中,棱AB,AD,AP两两垂直,且长度均为1,BC=AD(01).(1)若=1,求直线PC与平面PBD所成角的正弦值;(2)若二面角B-PC-D的大小为120,求实数的值.答案精解精析1.解析(1)在PAB中,因为PA=2,PB=3,AB=1,所以PA2=AB2+PB2,所以PBAB.又
2、BCPB,ABBC,所以建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示.所以B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D(1,3,0),P(0,0,3),CD=(1,1,0),PC=(0,2,-3).易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则mCD=0,mPC=0,即x+y=0,2y=3z.令z=2,则m=(-3,3,2).设二面角P-CD-A的平面角为,可知为锐角,则cos =|cos|=|nm|n|m|=23+3+4=105,即二面角P-CD-A的余弦值为105.(2)因为点E在棱PA上,所以设AE=AP,0,1.因为AP=(-1,0
3、,3),所以AE=(-,0,3),BE=BA+AE=(1-,0,3).又因为BE平面PCD,m=(-3,3,2)为平面PCD的一个法向量,所以BEm=0,即3(-1)+23=0,所以=13.所以BE=23,0,33,所以BE=|BE|=73.2.解析(1)以AB,AD,AP为基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为=1,所以BC=AD.依题意知C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),所以PC=(1,1,-1),PB=(1,0,-1),PD=(0,1,-1).设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则nPB=0,nPD=0,即x-z=0,y-z=0.取z
4、=1,得n=(1,1,1).所以|cos|=PCn|PC|n|=11+11+(-1)133=13.所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为13.(2)依题意及(1)知C(1,0),PB=(1,0,-1),PC=(1,-1),PD=(0,1,-1).设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1PB=0,n1PC=0,即x1-z1=0,x1+y1-z1=0,取z1=1,得n1=(1,0,1).设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2PC=0,n2PD=0,即x2+y2-z2=0,y2-z2=0,取z2=1,得n2=(1-,1,1).所以|cos|=n1n2|n1|n2|=|2-|22+(1-)2=|cos 120|=12,解得=1或=5,因为01,所以=1.
