1、3 集合的基本运算3.1 交集与并集内 容 标 准学 科 素 养1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的“或”“且”的含义2.借助于Venn图或数轴，会求两个集合的交集和并集3.能够利用交集、并集的性质解决有关参数问题.准确分类讨论提升数学运算熟练数形结合01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 交集的概念预习教材P1112，思考并完成以下问题(正确的打“”，错误的打“”)(1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合没有交集()(2)若 AB，则 AB.()提示：(1)(2)(1)不正确当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空
2、集(2)不正确AB存在三种情况：集合 A，B 均为空集；集合 A，B 中有一个是空集；集合 A，B 均为非空集，但无相同元素知识梳理 交集的三种语言表示(1)文字语言：由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B的(2)符号语言：AB(3)图形语言：如图所示：交集x|xA，且xB 知识点二 并集的概念思考并完成以下问题(1)已知 Ax|x1，Bx|x0，则 AB 等于()Ax|x1 Bx|x0Cx|0 x1 Dx|x0(2)满足1B1,2的集合 B 的个数是_提示：(1)B(2)2知识梳理 并集的三种语言表示(1)文字语言：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素
3、组成的集合，称为集合 A 与 B的(2)符号语言：AB(3)图形语言：如图所示：并集x|xA，或xB 知识点三 并集与交集的运算性质思考并完成以下问题(1)集合 ABx|xA，或 xB中的“或”包含哪几种情况？提示：集合中的“或”包含三种情况：xA 但 xB；xB 但 xA；xA 且 xB.(2)集合 AB，AB 与集合 A、集合 B 有何关系？提示：因为 ABx|xA，或 xB，ABx|xA，且 xB，故 A(AB)，B(AB)，(AB)A，(AB)B.(3)AA，AA，A，A分别等于什么？提示：AAA，AAA，AA，A.知识梳理并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAABA
4、BBABABAAAA思考：1.“AB 就是把集合 A 中的元素和集合 B 中的元素放在一起形成的新集合”这种说法正确吗？提示：不正确如 A1,2，B2,4，则 AB1,2,4，而不是 AB1,2,2,4，即 AB 作为一个新集合，必须满足集合中元素的特性2“ABx|xA，或 xB，即集合 AB 中的元素不在 A 中，就一定在 B 中，不可能既在 A 中，又在 B 中”这种理解正确吗？提示：不正确如 A0,1，B1,2，则 AB0,1,2，对于元素 1，其满足 1A，且 1B.也就是说，对“或”的理解应从三方面把握：(1)xA 但 xB；(2)xB 但 xA；(3)xA 且 xB.3能否认为 A
5、 与 B 没有公共元素时，A 与 B 就没有交集？提示：不能当 A 与 B 无公共元素时，A 与 B 的交集仍存在，此时 AB.自我检测1设集合 A2,3，集合 B0,1，则 AB 等于()AB1,2,3 C0,1,2 D0,1,2,3解析：A2,3，B0,1，AB0,1,2,3答案：D2若集合 Px|2x4，Qx|x3，则 PQ 等于()Ax|3x4 Bx|3x4Cx|2x3 Dx|2x3解析：结合数轴，得 PQx|3x4故选 A.答案：A3设集合 Mx|x1，集合 Nx|x2，则 MN_，MN_.解析：由数轴，得 MNR，MNx|1x2答案：R x|1x2探究一 交集运算例 1 已知 M1
6、,2，a23a1，N1，a,3，MN3，求实数 a 的值思路点拨 MN3 3M a23a13 计算a并验证解析 MN3，3M；a23a13，即 a23a40，解得 a1 或 4.但当 a1 时，集合 N 中元素不满足互异性；当 a4 时，M1,2,3，N1,3,4，符合题意a4.方法技巧 求两个集合的交集的方法：(1)识别所给集合的意义；(2)化简集合，使集合中的元素明朗化；(3)依据交集的定义直接观察写出结果有时要借助于 Venn 图或数轴写出交集，借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集跟踪探究 1.若集合 Ax|1x3，xN，Bx|x2，xN，则 AB()A3
7、 Bx|x1 C2,3 D1,2解析：由题意，知 A1,2,3，B0,1,2，结合 Venn 图分析，可得 AB1,2答案：D探究二 并集运算例 2 已知集合 Ax|x23，Bx|2x33x2，求 AB.思路点拨 先把集合 A、B 进行化简，再在数轴上表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得 AB.解析 Ax|x5，Bx|x1，在数轴上表示为：根据并集的定义，图中阴影部分即为所求ABx|x1 或 x5方法技巧 1.用描述法表示的数集，如果直接观察不出并集的运算结果，那么就要借助于数轴写出结果，此时要注意：(1)并集是所有部分；(2)当端点不在集合中时，用“空心圆圈”表示2用列举法表示的数集，依
8、据并集的含义，直接观察或用 Venn 图写出集合运算的结果跟踪探究 2.已知 Ax|x2 或 x5，Bx|1x7，求 AB.解析：将 x2 或 x5 及 1x7 在数轴上分别表示出来根据并集的定义，图中阴影部分即为所求，故 ABx|x2，或 x1探究三 交集、并集性质的应用例 3 已知集合 Ax|3x4，集合 Bx|k1x2k1，且 ABA，试求 k 的取值范围思路点拨 ABA BA 分B和B 结合数轴求解解析 ABA，BA，B或 B.(1)当 B时，k12k1，k2.(2)当 B，则根据题意如图所示：根据数轴可得k12k1，3k1，2k14，解得 2k52.综合(1)(2)可得kk52.方法
9、技巧 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：当题目中含有条件 ABA，ABB，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：ABAAB，ABBAB等(2)关注点：当题目条件中出现 BA 时，若集合 B 不确定，解答时要注意讨论 B和 B的情况跟踪探究 3.已知集合 Ax|0 x4，集合 Bx|m1x1m，求(1)ABA时，实数 m 的取值范围(2)ABA 时，实数 m 的取值范围解析：(1)ABA，BA.Ax|0 x4，B或 B.当 B时，有 m11m，解得 m0.当 B时，用数轴表示集合 A 和 B，如图所示：BA，m11m，0m1，1m4，解得1
10、m0.综上所得，实数 m 的取值范围是 m0 或1m0，即m|m1(2)ABA，AB.如图：m11m，m10，1m4，解得 m3.故实数 m 的取值范围是m|m3.课后小结1对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的“xA，或 xB”这一条件，包括下列三种情况：xA 但 xB；xB 但 xA；xA 且 xB.因此，AB 是由所有至少属于 A、B 两者之一的元素组成的集合(2)AB 中的元素是“所有”属于集合 A 且属于集合 B 的元素，而不是部分特别地，当集合 A 和集合 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B
11、没有交集，而是 AB.2集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到素养培优忽略端点值造成错解易错案例：若非空集合 Ax|2a1x3a5，Bx|3x22，则使得 A(AB)成立的所有 a 的集合是_易错分析：解此类题的关键是由题目给出的条件得到集合关系，进而转化到 a 的不等式组，得到 a 的取值集合；另外一定要看是否包括端点值集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能地借助 Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题得解考查数形结合思想的运用和数学运算的学科素养自我纠正：由 A(AB)可知，AB.因为 A 为非空集合，如图，所以有2a13，3a522，3a52a1，解得 6a9，即 aa|6a9答案：a|6a904 课时 跟踪训练