1、第3课时反证法与放缩法1.了解放缩法、反证法的概念；理解用反证法、放缩法证明不等式的步骤.2.会用反证法、放缩法证明一些简单的不等式.证明命题时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法放缩法用在顺推法逻辑推理过程，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更容易得证的不等式来代替原不等式的证明通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法通过证明命题结论的否定不能成立来肯定命题结论一定成立的证明方法叫反证法其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出
2、矛盾；(3)否定假设，肯定结论反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，否则将是错误的在什么样的问题中多适宜用反证法证明？提示：常用于证明：(1)否定性命题；(2)结论中含有“至少”、“至多”、“有无穷多个”等字样的一类命题；(3)“唯一性”问题；(4)直接难以证明或从结论的反面较易着手的问题等利用反证法证明否定性结论已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.思路点拨原命题的结论三式不能同时大于，它的反面则为三式都同时大于，利用这一假设进行论证推出矛盾证明假设三式同时大于，即bab，cbc，aac，三式同向相
3、乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.0a1，(1a)a.同理(1b)b，(1c)c.又(1a)a，(1b)b，(1c)c均大于零(1a)a(1b)b(1c)c，因此式与式矛盾故假设不成立，即原命题成立规律方法用反证法证明不等式要把握三点：必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完整的反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等等，但推导出的矛盾必须是明显的变式
4、训练1已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C，D，考虑ABC，点D在ABC之内和之外两种情况如果点D在ABC之内(如图)，根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个周角等于360矛盾如果点D在ABC之外(如图)，根据假设BAD，B，BCD，D都小于90，这和四边形内角之和等于360矛盾综上所述，原结论成立反证法证明“至少”、“至多”型命题已知f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小
5、于.思路点拨(1)直接代入(2)证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)用反证法证明假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，又与|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2出现矛盾，假设不成立，|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.规律方法(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、唯一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相
6、矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾变式训练2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，不妨设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)(xyz)思路点拨由题目可获取以下主要信息：x，y，z不全为0；欲证的不等式较为复杂解答本题可对根号
7、内的式子进行配方后再用放缩法证明规范解答 |x|x.5分同理可得：y，z，8分由于x、y、z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：(xyz).12分规律方法(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且cb.(2)放缩法的主要理论依据有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较(3)放缩法原理简单，但技巧性较强且有时还会有“危险”，因为放大或缩小过了头，就会得出错误的结论而达不到预期的目的，因此，在使用放缩法时要注意放缩的“度”变式训练3求证：12(nN，n2)证
8、明：，即，分别令k2，3，n得：1，将这些不等式相加，得：1.12.A基础达标.要证明2，下列证明方法中，最为合理的是()A综合法B放缩法C分析法 D反证法解析：选C.要使2成立，只需210即可，只需5即可，只需0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为()Aa0，b0，c0，c0Ca、b、c不全是正数 Dabc0，b0，c0的反面为a，b，c不全是正数若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A0， B2，2C， D2，2答案：D用反证法证明命题：三角形的内角和中至少有一个不大于60时，假设应为_解析：“至少有一个不大于60”的反面是“都大于60”答案：假设
9、三内角都大于60B能力提升应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A BC D解析：选C.由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P，Q，则P与Q的大小关系是()APQ BP0，a90，a3a9，即PQ.当n2时，logn(n1)logn(n1)与1的大小关系是()Alogn(n1)logn(n1)1Blogn(n1)logn(n1)1Clogn(n1)logn(n1)1D不能确定解析：选B.logn
10、(n1)logn(n1)220，y0，A，B，则A、B的大小关系为()AAB BAB解析：选B.BA，即A210，2102210，2111210，M,sdo4(210个)1.答案：M1.用反证法证明“已知平面上有n(n3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为_解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n1条”答案：直径的数目至少为n1条.用反证法证明：已知|a|1，|b|1.则1.证明：假设1，则|ab|1ab|，(ab)2(1ab)2，(a21)(1b2)0，即a2和b2一个比1大，一个比1小从而|a|和|b|一个比1大，一个比1小，这与已知条件矛盾，故假设错误，原不等式成立.已知数列an满足a0，anan1a(nN)求证：(1)；(2)anan10.(1)因为anan1aan1anan1，所以.(2)12.从而ann.又an1n1，则anan1aan，anan1an1an.所以，1，21，即an.综合得：ann.
