1、3参数方程化成普通方程1.了解参数方程化成普通方程的意义.2.掌握参数方程化成普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系；两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：代数法消去参数(1)代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程(2)代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程
2、利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程将参数方程化为普通方程应注意哪些问题？提示：将参数方程化成普通方程，应注意，消参过程中要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的；消参前必须是根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)值域，从而得到x，y的取值范围利用代数法将参数方程化成普通方程将下列参数方程化成普通方程，并说明方程表示的曲线(1)；(2)(a、b为大于零的常数，t为参数)思路点拨(1)可考虑解出t，代入消参，亦可变形相减消参(2)借助1消参解(1)法一：由x解得t(
3、x2)代入y化简得：xy10(x2)它表示一条直线挖去一点(2，3)法二：原参数方程即，两式相减消去参数t，得：xy10(x2)它表示一条直线挖去一点(2，3)(2)x，t0时，xa，)，t0时，x(，a由x，两边平方可得x2(t22)由y两边平方可得y2，并化简，得1，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线规律方法将不含三角函数的参数方程化成普通方程时，若两个方程中其中一个可以解出参数t，则用代入法消参，否则用代数运算法消参变式训练1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？(1)(t0，t为参数)；(2)(t是参数且ab0)解：(1)由解出ty1，
4、代入中，得x4(y1)2(y1)，即(y1)2x(y1)方程表示的曲线是顶点为(0，1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分(2)由已知可得22得1(ab0)(xa)，这就是所求的普通方程，方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆(去掉左顶点)利用三角恒等式将参数方程化成普通方程(12分)将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线(1)(t为参数，0t)；(2)(为参数)思路点拨(1)利用sin2tcos2t1消参；(2)cos212sin2消参规范解答(1)0t，1cost1，0sint1.3x5，2y2，4分(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16.(x1)2(y2)2
5、16(3x5，2y2)，它表示的曲线是以(1，2)为圆心，半径为4的上半圆.6分(2)由y1cos2可得y2sin2，把sin2x2代入y2sin2，可得y2(x2)，即2xy40.10分又2x2sin23，所求的方程是2xy40(2x3)，它表示的是一条线段.12分规律方法对于含有三角函数的参数方程化成普通方程问题，常联想三角恒等式，利用三角变换消去参数，而得到其普通方程，但应注意x，y的取值范围方程化成普通方程的综合应用已知曲线C的方程为(1)当t是非零常数，为参数时，C是什么曲线？(2)当为不等于(kZ)的常数，t为参数时，C是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？思路点拨分别利用sin2
6、cos21，和(etet)2(etet)24，消去参数解(1)将原参数方程记为，将参数方程化为平方相加消去，得1.因为(etet)2(etet)20，所以方程的曲线为椭圆，即C为椭圆(2)将方程化为平方相减消去t，得1.所以方程的曲线为双曲线，即C为双曲线(3)在方程中1，则c1，椭圆的焦点坐标为(1，0)，(1，0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点规律方法对于同一个方程，确定的参数不同，所表示的曲线就不同因此，在研究曲线的参数方程时，必须明确哪一个量是参变量，这点尤为重要变式训练2在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程解：由题设知，椭圆的
7、长半轴长a5，短半轴长b3，从而c4，所以右焦点为(4，0)将已知直线的参数方程化为普通方程：x2y20.故所求直线的斜率为，因此其方程为y(x4)，即x2y40.A基础达标.曲线(为参数)的一条对称轴的方程为()Ay0Bxy0Cxy0 D2xy0解析：选D.曲线(为参数)的普通方程为(x1)2(y2)24，圆心C(1，2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.与普通方程x2y10等价的参数方程为(t为参数)()A. BC. D解析：选D.A化为普通方程为x2y10，x1，1，y0，1B化为普通方程为x2y10，x1，1，y0，1C化为普通方程为x2y10，x0，)，y(，1D化为普通方程为x
8、2y10，xR，y(，1若曲线(为参数)，则点(x，y)的轨迹是()A直线x2y20B以(2，0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.x1cos21(12sin2)22y，x2y20.又x1cos20，2，ysin20，1点(x，y)的轨迹是以(2，0)和(0，1)为端点的线段已知直线l：3x4y120与圆C：(为参数)，则它们的公共点个数为_解析：圆的方程可化为(x1)2(y2)24，其圆心为C(1，2)，半径为2.由于圆心到直线l的距离d2，故直线l与圆C的公共点个数为2.答案：2B能力提升极坐标方程cos和参数方程(t为参数)，所表示的图形分
9、别是()A圆、直线 B直线、圆C圆、圆 D直线、直线解析：选A.由cos得2cos，x2y2x，整理得y2，所表示的图形为圆由，得，消t得3xy10，所表示的图形为直线，故选A.参数方程(为参数)的普通方程为()Ay2x21 Bx2y21Cy2x21(|x|) Dx2y21(|x|)解析：选C.x21sin，y22sin，y2x21.又xsincossin，即|x|.故应选C.椭圆(为参数)的焦点坐标为()A(2，0)，(2，0) B(0，2)，(0，2)C(0，4)，(0，4) D(4，0)，(4，0)解析：选D.利用平方关系化为普通方程1，c216，c4，焦点在x轴上，焦点为(4，0)，(
10、4，0)，故选D.已知过曲线(为参数，0)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点P坐标是()A(3，4) BC(3，4) D解析：选D.设|OP|t，则P点坐标，代入方程1，解得t，所以P点坐标.若0x0)相切，则r_解析：由得y28x，抛物线C的焦点坐标为F(2，0)，直线方程为yx2，即xy20.因为直线yx2与圆(x4)2y2r2相切，由题意得r.答案：.已知方程y26ysin2x9cos28cos90，(02)(1)试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；(2)为何值时，该抛物线在直线x14上截得的弦最长，并求出此弦长解：(1)证明：将方程y26ysin2x9co
11、s28cos90，可配方为(y3sin)22(x4cos)，图象为抛物线，设其顶点为(x，y)，则有，消去得顶点轨迹就是椭圆1.(2)联立消去x，得y26ysin9sin28cos280.弦长|AB|y1y2|4.当cos1，即时，弦长最大为12.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：把极坐标系下的点P化为直角坐标，得点(0，4)因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离为dcos2，由此得，当cos1时，d取得最小值，且最小值为.
