1、函数习题课课时过关能力提升基础巩固1.已知f(x)=10,xf(-2)f(-1)B.f(3)f(-2)f(-1)C.f(-2)f(3)f(-1)D.f(-1)f(3)f(-2)解析:函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,m=0,即f(x)=-x2+3.当xf(-2)f(-3)=f(3).即f(3)f(-2)f(-1),故选B.答案:B5.若函数y=f(x)的定义域是0,3,则函数g(x)=f(3x)x-1的定义域是()A.(0,1)B.0,1C.0,1)(1,9D.0,1)解析:由题意知03x3,x
2、-10,解得0x0时,f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域是.解析:当x0时,f(x)的取值范围是(2,3.根据奇函数的性质可得,f(x)的值域是-3,-2)(2,3.答案:-3,-2)(2,38.已知对任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且f(2)=2,f(3)=3,则f(10)=.解析:由已知可得f(5)=f(2+3)=f(2)+f(3)=5,故f(10)=2f(5)=10.答案:109.已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).(1)求函数g(x)的定义域;(2)若f(x)是奇函数,且在定义域内单调递减,求不等式g(x)0的
3、解集.解:(1)函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),-2x-12,-23-2x2.12x52.故函数g(x)的定义域为12,52.(2)f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,由不等式g(x)0,得f(x-1)-f(3-2x)=f(2x-3),-2x-12,-22x-32,x-12x-3.12x2.故不等式g(x)0的解集为12,2.10.已知函数f(x)=x2-2|x|.(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在区间(-1,0)内的单调性,并加以证明.解:(1)函数f(x)是偶函数.证明如下:f(x)的定义域为R.f(-x)=(-
4、x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),函数f(x)是偶函数.(2)f(x)在区间(-1,0)内是增函数.证明如下:当x(-1,0)时,f(x)=x2+2x.设-1x1x20,则x1-x2-2,即x1+x2+20.f(x1)-f(x2)=(x12-x22)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)0,f(x1)f(x2).故f(x)在区间(-1,0)内是增函数.能力提升1.函数y=1-x+1x+1的定义域为()A.x|x1B.x|x1C.x|x1,且x-1D.x|x1,且x-1解析:函数有意义时,需满足1-x0,1+x0,解得x1,且x-1.故函数的定义域为x|x1,且x-1.
5、答案:D2.已知函数f(x)=1+x21-x2,则()A.f(x)是奇函数,且f1x=-f(x)B.f(x)是奇函数,且f1x=f(x)C.f(x)是偶函数,且f1x=-f(x)D.f(x)是偶函数,且f1x=f(x)解析:f(x)的定义域为x|xR,且x1,关于原点对称.又由f(-x)=1+(-x)21-(-x)2=1+x21-x2=f(x),得f(x)为偶函数.又f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1=-f(x),故C选项正确.答案:C3.如图所示,函数的解析式为()A.y=32|x-1|,0x2B.y=32-32|x-1|,0x2C.y=32-|x-1|,0x2D.y=1-|x-
6、1|,0x2解析:当0x1时,函数解析式为y=32x;当10,则函数f(x)=1x的值域是.解析:因为f(x)=1x=x2+1+x=x+122+34(x0),所以f(x)1,即f(x)的值域为(1,+).答案:(1,+)6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)内是增函数.若f(-3)=0,则f(x)x0时,f(x)3;当x0,解得-3x0.故-3x3.答案:(-3,0)(3,+)7.已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0.(1)若函数f(x)是偶函数,求f(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间-1,3上的最大值和最小值;(3)要使函数f(x)在区
7、间-1,3上单调递增,求b的取值范围.解:(1)因为函数f(x)是偶函数,所以b=0.又因为f(1)=0,所以1+c=0,即c=-1,所以f(x)=x2-1.(2)结合图象得:当x=0时,f(x)min=-1;当x=3时,f(x)max=8.(3)结合图象可知,当-b2-1,即b2时,f(x)在区间-1,3上单调递增.8.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意a,bR都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x0时,f(x)0恒成立.(1)证明函数y=f(x)在R上为减函数;(2)讨论函数y=f(x)的奇偶性;(3)若f(2+x)+f(x)x2,则x1-x20.f(a+b)=f(a)+f(b),f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+x2-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又当x0时,f(x)0恒成立,f(x1)f(x2),函数y=f(x)在R上是减函数.(2)解由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=f(0).又f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0,f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.(3)解f(2+x)+f(x)0,f(x)-f(2+x).f(x)-2-x,解得x-1.