1、3.2.2 函数模型的应用实例课时过关能力提升基础巩固1.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A C 解析:设第一年年初生产总值为 1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为 x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得 x 故选D.答案:D2.在一次数学实验中,采集到如下一组数据:x-2.0-1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数)()A.y=a+bx
2、B.y=bxC.y=ax2+b D.y 解析:画出散点图如图所示:由散点图可知选项 B 正确.答案:B3.2017 年年底某偏远地区农民人均年收入为 3 000 元,随着我国经济的不断发展,预计该地区今后农民的人均年收入的年平均增长率为 6%,则 2024 年年底该地区的农民人均年收入为()A.3 0001.067 元B.3 0001.067元C.3 0001.068 元D.3 0001.068元解析:设经过 x 年,该地区农民人均年收入为 y 元,则依题意有 y=3 000(1+6%)x=3 0001.06x,因为2017 年年底到 2024 年年底经过了 7 年,故 x=7,所以 y=3
3、0001.067.答案:B4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量 y(单位:只)与引入时间 x(单位:年)的关系为 y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 100只,则第 7 年它们发展到()A.300 只B.400 只C.600 只D.700 只解析:当 x=1 时,y=100,a=100.y=100log2(x+1),当 x=7 时,y=100log28=300.答案:A5.商店某种货物的进价下降了 8%,但销售价不变,于是货物的销售利润率(销售价-进价进价 )由原来的 增加到 则 的值等于 A.12B.15C.25D.
4、50解析:设原销售价为 a,原进价为 x,可以列出方程组 -解这个方程组,消去 a,x,可得 r=15.答案:B6.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线 y=f(x),另一种是平均价格曲线 y=g(x),如 f(2)=3 表示股票开始买卖 2 小时后的即时价格为 3 元;g(2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元,下面给出了四个图象,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是()解析:根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项 C 中的图象可
5、能正确.答案:C7.某物体一天中的温度 T(单位:)是时间 t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60.若 t=0 为中午 12 时,中午12 时之前,t 取值为负,中午 12 时之后,t 取值为正,则上午 8 时的温度是 .解析:上午 8 时,即 t=-4,则 T(-4)=(-4)3-3(-4)+60=8().答案:8 8.某人从 A 地出发,开汽车以 60 km/h 的速度,经 2 h 到达 B 地,在 B 地停留 1 h,则汽车离开 A 地的距离 y(单位:km)是时间 t(单位:h)的函数,该函数的解析式是 .答案:y 9.有 A,B 两个水桶,桶 A 中开始有 a L 水,桶
6、A 中的水不断流入桶 B,若经过 t min 后,桶 A 中剩余的水符合指数衰减曲线 y1=ae-nt,则桶 B 中的水就是 y2=a-ae-nt(n 为常数).假设 5 min 时,桶 A 和桶 B 中的水相等,则再过 min,桶 A 中的水只有 解析:因为 5 min 时,桶 A 和桶 B 中的水相等,所以 ae-5n=a-ae-5n,所以 e-5n 令ae-nt 则e-nt ()故有t=15.所以再过 10 min,桶 A 中的水只有 L.答案:1010.某工厂生产某种产品的固定成本为 2 000 万元,并且每生产 1 个单位产品,成本增加 10 万元.又知总收入 k 是单位产品数 Q
7、的函数 k(Q)=40Q 求总利润 的最大值 解:总利润 L(Q)=40Q 000)=500,故当 Q=300 时,总利润 L(Q)有最大值,最大值为 2 500 万元.能力提升1.某厂日产手套总成本 y(单位:元)与手套日产量 x(单位:副)的解析式为 y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副 10 元,则该厂为了不亏本,日产手套量至少为()A.200 副B.400 副C.600 副D.800 副解析:由 10 x-y=10 x-(5x+4 000)0,得 x800.答案:D2.一天,亮亮发烧了,早晨 6 时他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午 12 时亮亮的体温基本正常,但是从 12
8、时到下午 18 时他的体温又不断上升,直到半夜 24 时亮亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图能基本上反映出亮亮这一天(024 时)体温的变化情况的是()解析:从 0 时到 6 时,体温上升,图象是上升的,排除选项 A;从 6 时到 12 时,体温下降,图象是下降的,排除选项 B;从 12 时到 18 时,体温上升,图象是上升的,排除选项 D.答案:C3.某城市出租汽车的收费标准是:起步价为 6 元,行程不超过 2 千米均按此价收费;行程超过 2 千米,超过部分按 3 元/千米收费(不足 1 千米按 1 千米计价);另外,遇到堵车或等候时,汽车虽没有行驶,但仍按 6 分钟折算 1 千米计算(不足
9、 1 千米按 1 千米计价).已知陈先生坐了一趟这种出租车,车费 24元,车上仪表显示等候时间为 11 分 30 秒,则陈先生此趟行程的取值范围是()A.5,6)B.(5,6C.6,7)D.(6,7解析:若按 x(xZ)千米计价,则 6+(x-2)3+23=24,得 x=6.故实际行程应属于区间(5,6.答案:B4.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是 元.解析:设进货价为 x 元,则 1320.9-x=10%x,解得 x=108.答案:1085.一名驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL
10、,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少.为了保障交通安全,规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,则这名驾驶员至少要经过 小时才能开车.(精确到 1 小时,参考数据 lg 20.30,lg 30.48)解析:设经过 n 小时后才能开车,此时酒精含量为 0.3(1-0.25)n.根据题意,有 0.3(1-0.25)n0.09,即(1-0.25)n0.3,在不等式两边取常用对数,则有 nlg 3-2lg 2)lg 0.3=lg 3-1,将已知数据代入,得n(0.48-0.6)0.48-1,解得 n 故至少经过5 小时才能开车.答案:56.为了预防流感,某学校对
11、教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中室内每立方米空气中的含药量 y(单位:mg)与时间 t(单位:h)成正比.药物释放完毕后,y 与 t 的函数解析式为 y()-为常数 如图 根据图中提供的信息 回答下列问题(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(单位:mg)与时间 t(单位:h)之间的函数解析式为 ;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 mg 以下时,学生方可进教室,从药物释放开始,至少需要经过 h 后,学生才能回到教室.解析:(1)由题图可设 y=kt(0t0.1),把点(0.1,1)分别代入 y=kt 和 y()-解得 k=10,a=0.1,故所求函数
12、解析式为 y ()-(2)由()-解得t0.6.答案:(1)y ()-7.某市原来民用电价为 0.52 元/(kWh).换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/(kWh),谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为 0.35 元/(kWh).对于一个平均每月用电量为 200 kWh 的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的 10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少?解:原来每月电费为 0.52200=104(元).设峰时段用电量为 x kWh,电费为 y 元,谷时段用电量为(200-x)kWh,则 y=0.55x+0.35(200-x)(1-10%)104,即
13、 0.55x+70-0.35x93.6,则 0.2x23.6,故 x118,即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118 kWh.8.沿海地区某村在 2018 年底共有人口 1 480 人,全年工农业生产总值为 3 180 万,从 2019 年起计划 10 年内该村的总产值每年增加 60 万元,人口每年净增 a 人,设从 2019 年起的第 x 年(2019 年为第一年)该村人均产值为 y 万元.(1)写出 y 与 x 之间的函数解析式;(2)为使该村的人均产值 10 年内每年都有增长,则该村每年人口的净增不能超过多少人?解:(1)依题意得第 x 年该村的工农业生产总值为(3 180+60 x)万元,而该村第 x 年的人口总数为(1 480+ax)人,故 y x10,xN*).(2)y (-)为使该村的人均产值10 年内每年都有增长,则当 1x10 时,y=f(x)为增函数,则有 53 a 27.9.又 aN*,a 的最大值是 27,即该村每年人口的净增不能超过 27 人.