1、3.1.2用二分法求方程的近似解课时过关能力提升基础巩固1.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是()答案:A2.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:令f(x)=ex-x-2,则f(1)f(2)=(e-3)(e2-4)0,故选C.答案:C3.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f(x)在区间(a,b)内有一个零点x0,且f(a)f(b)0,用二分法求x0时,当fa+b2=0时,则函数f(x)的
2、零点是()A.(a,b)外的点B.x=a+b2C.区间a,a+b2或a+b2,b内的任意一个实数D.x=a或x=b答案:B4.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3答案:D5.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:f(-1)=-520,f(0)=-20,f(1)=-10,f(3)=50,则f(1)f(2)0,即初始区间可选(1,2).答案:C6.已知函数f(x)的图象是连续不断的,f(1)f(2)0,用二分法求f(x)在(
3、1,2)内的零点时,第一步是.答案:计算区间(1,2)的中点c=1+22=327.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间2,3上的实数根时,如果取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是.解析:设f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-10,f(2.5)=5.6250.故下一个有根区间为(2,2.5).答案:(2,2.5)8.求方程ln x+x-3=0在(2,3)内的近似解.(精确度0.1)解:令f(x)=ln x+x-3,求函数f(x)=0在(2,3)内的零点.f(2)=ln 2-10,取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.416(2,2
4、.5)2.250.061(2,2.25)2.125-0.121(2.125,2.25)2.187 5-0.030又2.25-2.187 5=0.062 50.1,在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值,即方程的近似解可取为2.25.9.在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量稍小),现在只有一台天平(无砝码),请你用二分法的思想找到这枚假币.解:第一次在天平的两端各放入13枚金币称重,选出较轻一端的13枚,继续称;第二次两端各放6枚,若平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的6枚继续称;第三次两端各放3枚,选出较轻的3枚继续称;第四次两端各放1
5、枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的是假币.能力提升1.若函数f(x)唯一的零点在区间(0,8),(0,6),(0,4),(0,2)内,则下列命题正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间2,8)内无零点D.函数f(x)在区间(1,8)内有零点答案:C2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据见下表:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)-0.984f(1.375)-0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)-0.054则方
6、程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为 ()A.1.248B.1C.1.437 5D.1.5答案:C3.在用二分法求方程f(x)=0在0,1上的近似解时,经计算,f(0.625)0,f(0.687 5)0,即得出方程的一个近似解为.(精确度0.1)解析:因为|0.75-0.687 5|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取0.75或0.687 5.答案:0.75或0.687 54.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,且在区间(0,0.1)内有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为.解析:设等分的最少次数为
7、n,则由0.12n10,故n的最小值为4.答案:45.求函数f(x)=x3-x-1在(1,1.5)内的零点(精确度0.1).解:f(1)=-10,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(1,1.5)1.25-0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 5-0.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.375-1.312 5|=0.062 50,f(1)0.(1)证明:a0;(2)利用二分法证明方程f(x)=0在区间0,1上有两个实根.证明(1)f(1)0,3a+2b+c0,即3(a+b+c)-b-2c0.又a+b+c=0,-b-2c0,则-b-cc,即ac.又f(0)0,c0,a0.(2)在区间0,1上选取二等分点12,则f12=34a+b+c=34a+(-a)=-14a0,f(1)0,f(x)在区间0,12和12,1内至少各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,方程f(x)=0在0,1上有两个实根.