1、1椭圆11椭圆及其标准方程1椭圆的定义(1)定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距(2)椭圆的集合表示设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为M|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|，a为常数2椭圆的标准方程(1)椭圆上任意一点的坐标都是方程1(ab0)的解，以方程1(ab0)的解为坐标的点都在椭圆上，我们将方程1(ab0)叫作焦点在x轴上的椭圆的标准方程，焦点坐标是F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a
2、2b2(2)同样地，我们将方程1(ab0)叫作焦点在y轴上的椭圆的标准方程焦点坐标是F1(0，c)，F2(0，c)，其中c2a2b2如图所示 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|2a(a0且为常数)是P点的轨迹为椭圆的必要不充分条件()(2)椭圆标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称()(3)用平面截圆柱所得截面的边界线是椭圆()(4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()答案：(1)(2)(3)(4) 设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于
3、()A4B5C8D10答案：D 已知两焦点坐标分别为(2，0)和(2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为()A1B1C1D1答案：C 椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12)1对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件若常数2a|F1F2|时(F1，F2为两定点)，轨迹是线段F1F2，若常数2a|F1F2|时，轨迹不存在2a，b，c三个量的关系椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形
4、帮助记忆a，b，c(都是正数)恰好构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2(如图所示)3焦点三角形椭圆上一点P与椭圆两焦点F1，F2构成PF1F2，我们通常称其为焦点三角形，如图所示在这个三角形中，既可运用到椭圆的定义，又能用到正、余弦定理，进而可解决与焦点三角形有关的面积问题、|PF1|PF2|的最值问题等 待定系数法求椭圆的标准方程(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程解(1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a
5、 2，所以a又因为c2，所以b2a2c21046因此，所求椭圆的标准方程为1法二：设标准方程为1(ab0)依题意得解得所以所求椭圆的标准方程为1(2)法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，所以则所以所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，所以则与ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21法二：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)因为椭圆过(2，0)和(0，1)两点，所以所以综上可知，所求椭圆的标准方程为y21求椭圆标准方程的方法(1
6、)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量”当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程 1.求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆
7、上一点P到两焦点的距离之和为26解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216所以所求椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26，2c10，所以a13，c5所以b2a2c2144所以所求椭圆标准方程为1与椭圆有关的轨迹问题如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程解设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|B
8、M|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左，右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 2.已知B，C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4，0)，C(4，0)由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，c4，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A
9、的轨迹方程为1(y0)椭圆的定义及其应用(1)设F1，F2是椭圆1(a5)的两个焦点，且|F1F2|8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为()A10B20C2D4(2)椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为()A20B22C28D24解析(1)2c|F1F2|8，c4，a2b2c2251641，a，故ABF2的周长为|AB|F2A|F2B|4a4(2)c2a2b2492425，c5，|F1F2|10，设|PF1|r1，|PF2|r2，由题意知rr100，又根据椭圆定义，知r1r214，由易得r1r248.故SPF1F2r1r224答案(1)D(2)D椭圆定
10、义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解 3.已知AB是过椭圆x2y21的左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|()A1B2C3D4解析：选B由椭圆定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a6所以|AF1|BF1|642，即|AB|2
11、易错警示求解椭圆问题的常见错误(1)设F1(4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|MF2|8，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C圆D线段(2)若方程1表示椭圆，则实数k的取值范围是_(3)已知椭圆的标准方程为1(m0)，并且焦距为6，则实数m为_解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2(2)由题意可知所以k(5，6)(6，7)(3)因为2c6，所以c3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a225，b2m2，由a2b2c2，得25m29，所以m216，又m0，故m4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2m2，b225，a2b2
12、c2，得m225934，又m0，故m.综上，实数m的值为4或答案(1)D(2)(5，6)(6，7)(3)4或在求解椭圆问题时，要注意以下常见错误：(1)忽略椭圆定义中的条件2a|F1F2|(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a0，b0，ab)(3)主观认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况(4)忽略对方程加限制条件1已知椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A2B3C5D7解析：选D由椭圆方程知a5，根据椭圆定义有|PF1|PF2|2a10.若|PF1|3，则|PF2|72若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是()A(0，)B(0，2)
13、C(1，)D(0，1)解析：选D该椭圆的标准方程为1，又因为焦点在y轴上，所以2，得k(0，1)3已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A1B1或1C1D1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，所以c因为2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，所以a2，所以b2a2c29故椭圆C的标准方程是1或14设点A，B的坐标分别为(5，0)，(5，0)直线AM，BM交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为_解析：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(5，0)，所以，直线AM的斜率kAM(x
14、5)；同理，直线BM的斜率kBM(x5)由已知有(x5)，化简，得点M的轨迹方程为1(x5)答案：1(x5)A基础达标1平面内，若点M到定点F1(0，1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A椭圆B直线F1F2C线段F1F2D直线F1F2的垂直平分线解析：选C由|MF1|MF2|2|F1F2|知，点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F22已知椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m()A10B5C15D25解析：选D设椭圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a10，所以a5，所以a225，所以椭圆的焦点在x轴上，m253“3m5
15、”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B要使方程1表示椭圆，应满足解得3m5且m1，因此“3m|F1F2|2，所以动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a2，c1，所以b2a2c23，轨迹方程为1答案：17椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：由|PF1|PF2|6，且|PF1|4，知|PF2|2.在PF1F2中，cosF1PF2所以F1PF2120答案：21208已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且ac，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆的标准
16、方程为_解析：根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，根据ABF2的周长为16得4a16，则a4，因为ac，所以c2，则b2a2c21688故椭圆的标准方程为1答案：19已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C求C的方程解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点的椭圆(与x轴的左交点除外)，又a2，c
17、1，得b23，故其方程为1(x2)10如图所示，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，若POF2为面积是的正三角形，试求椭圆的标准方程解：由POF2为面积是的正三角形得，|PO|PF2|OF2|2，所以c2连接PF1，在POF1中，|PO|OF1|2，POF1120，所以|PF1|2所以2a|PF1|PF2|22，所以a1，所以b2a2c24242所以所求椭圆的标准方程为1B能力提升11已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5B7C13D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆
18、心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|12712已知ABC的顶点A(2，0)和B(2，0)，顶点C在椭圆1上，则_解析：设A、B、C的对边分别为a1，b1，c1，a4，b2，c2a1b12a8，c12c4，由sin A，sin B，sin C得2答案：213设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点(1)若PF1PF2，且|PF1|PF2|，求的值；(2)当F1PF2为钝角时，求|PF2|的取值范围解：(1)因为PF1PF2，所以F1PF2为直角，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2所以解得|PF1|4，|PF2|2，所以2(2)设|PF1|r1
19、，|PF2|r2，则r1r26因为F1PF2为钝角，所以cosF1PF20又因为cosF1PF20，所以rr8，所以(6r2)r28，所以2r24即|PF2|的取值范围是(2，4)14设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，1)(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|PF2|的最大值；(2)若C为椭圆上异于B的一点，且1 1，求的值；(3)设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值解：(1)因为椭圆的方程为y21，所以a2，b1，c，即|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|2a4，所以|PF1|PF2|4，当且仅当|PF1|PF2|2时取“”，所以|PF1|PF2|的最大值为4(2)设C(x0，y0)，B(0，1)，F1(，0)，由1 1，得x0，y0又y1，所以有2670，解得7或1，C异于B点，故1舍去所以7(3)因为|PF1|PB|4|PF2|PB|4|BF2|，所以PBF1的周长4|BF2|BF1|8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，PBF1的周长最大，最大值为8
