1、南昌市三校2020-2021学年度高二下学期期末联考（南昌一中、南昌十中、南昌市铁一中）数 学 试 卷（理 科）考试时长：120分钟 试卷总分：150分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1已知集合，则（ ）ABCD2设复数，则（ ）ABCD3已知命题p：若，则；命题q：对任意，都有.则下列命题是假命题的是（ ）ABCqD4下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）ABCD5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D6已知a、b为两条不同直线，为两个不同的平面，给出以下四个命题：
2、若，则； 若，则；若，则； 若，则其中真命题的个数是（ ）A0B1C2D37将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）A B C D8函数的大致图象是（ ）A B C D9已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）A8B6C4D210若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）A4B3C2D111已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为（ ）AB3CD12设函数若方程恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（ ）A B C D第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。把答案填
3、在答题纸的横线上）13已知向量若，则_144名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种15锐角的内角，所对的边分别为，且，则的取值范围是_16如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_.三、解答题（本大题共6题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(一)必做部分17（本小题满分12
4、分）已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，.（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的大小.19（本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计
5、算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2） 为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上90 60岁及以下140合计300（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为，求的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.
6、0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（本小题满分12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过点F做互相垂直的直线，设与抛物线的交点为A，B，与抛物线的交点为D，E，求的最小值21（本小题满分12分）已知函数，.（1）当时，求处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若，且的最小值小于，求的取值范围.(二)选做部分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。22（本小
7、题满分10分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线：与曲线和曲线分别交于，两点，求23（本小题满分10分）已知.（1）解不等式；（2）设的最小值为，求的最小值.南昌市三校2020-2021学年度高二下学期期末联考（南昌一中、南昌十中、南昌市铁一中）数学（理科）答案 一、 选择题题号123456789101112答案DCBCCADAACCD二、 填空题13. 14. 36 15. 16. 三、 解答题17.（12分）解：（1）设等差数列的公差为d，由，可得，解得，则
8、；.3分设正项等比数列的公比为q，q0，由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，则；.6分（2）由（1）可得，所以，则，.9分两式相减可得=，所以.12分18.（12分）（1）证明：在直三棱柱中，易知平面又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以.6分（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，.9分设直线和平面所成角的大小为，则，所以所以直线和平面所成角的大小为.12分19.（12分）解：解：（1）平均数，.1分这500名患者中“长潜伏者”的频率为，所以“长潜伏者”的人数为人.2分（2） 由题意补充后的列联表如下：短潜伏者长潜伏者合计60岁及
9、以上907016060岁及以下6080140合计150150300.4分则的观测值为，经查表，得，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.7分（3）由题意知，所需要的试验费用所有可能的取值为1000，1500，2000，（或），.10分所以的分布列为100015002000数学期望（元）.12分20.（12分）解：（1）由题意可得，即，所以双曲线方程为，将点代入双曲线方程，可得，所以双曲线的标准方程为，.2分，所以，所以抛物线的方程为.4分（2）由题意知，与坐标轴不平行，设直线的方程为，整理可得，恒成立，因为直线，互相垂直，可设直线的方程为，同理可得，.9分当且仅当时取等号，所以的最小
10、值为.12分21.（12分）解：（1）当时，切线方程为，即.2分（2），当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增.6分（3）由（1）知，则，令，则，令，在上单调递减，又， ，存在，使得，即，在上单调递增，在，上单调递减，.10分又， ，的取值范围为.12分22.（10分）解：（1）由题可知曲线的普通方程是，由题可知，曲线的直角坐标方程是；.5分（2）由题可知曲线的极坐标方程是，当时，由曲线的极坐标方程，当时，所以.10分23.（10分）解：（1），无解，原来不等式解集为；.5分（2），时等式成立，当且仅当，即，时，等号成立.10分