1、吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各題的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.=本卷命题范围：人教A版必修第二册.一.选择题:本题共8小题,每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
2、.设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知向量,若,则实数=（）A B C D3.2019年5月31日世界无烟日，新华小区随机调査了个成年人，结果其中有个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A调査的方式是普査 B样本是个吸烟的成年人C本小区只有个成年人不吸烟D本小区约有的成年人吸烟4.下列说法正确的是（ ）A多面体至少有个面 B有个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台 C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D六棱柱有条侧棱，个侧面，侧面均为平行四边形5.从装有大小相同的个红球和个白球的袋子中，
3、随机摸出个球，则至少有一个白球的概率为（ ）A B C D6.为让数据多跑路，群众少跑腿，某地区今年将全面通过学生社会保障卡（简称社保卡）进行代扣代缴，这种模式避免大量保费以现金的形式在个人手中停留时间较长，大大缩减了收缴费用的时间,提高办事效能.学生家长只需在合作银行网点通过银行柜台、自助终端机、网上银行、手机这四种方式进行缴费即可,该区从缴费过的家长中随机抽取了容量为的样本，绘制通过各个不同缴费方式所占样本人数的比例图（如图所示），其中阴影部分表示相应 缴费方式人数所占的比例，则下列叙述中错误的是（ ）A相比其他缴费方式,家长更愿意通过手机缴费B调查中选择自助终端机和网上银行缴费的人数合计
4、为C通过银行柜台缴费的家长人数占样本比例是D通过调査可预测，选择手机缴费的人数约是选择银行柜台缴费人数的倍7.已知，则向量的夹角（ ）A B C D8.对于有如下命题,其中正确的是（ ）A若,则为等腰三角形B若,则为直角三角形C若,则为钝角三角形D若,则为等腰三角形二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分.有选错的得0分9.下列命题正确的是（ ）A已知平面和直线,则平面内至少有一条直线与直线垂直B已知不同的平面,不同的直线,若,则C已知直线相交，直线相交,则直线可能异面D若直线在平面外，则直线与平面无交点10.
5、如图，在平面四边形中，等边的边长为,点为边上一动点，记,则的取值可以是（ ）A B C D11.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点,若线段的最小值为,则（ ）A正方体的外接球的表面积为 B正方体的内切球的体积为 C正方体的边长为D线段的最大值为12.如图，设的内角所对的边分别为,且.若点是外一点,则下列说法中正确的是（ ）A的内角B的内角C四边形面积无最大值D四边形面积的最大值为三、填空题:本题共4小题.每小题5分，共20分.13.如图，在中,是线段的两个三等分点，若.则 .14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和,系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系
6、统不发生故障的概率为,则 .15.在中，角所对的边分别为，且,则的大小为 .16.在正三棱柱中,分别为的中点，平面过点,且平面平面平面,平面平面,则异面直线与所成角的余弦值为 .四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)在不超过的素数中随机选取两个不同的数，求其和等于的概率;(2)投掷一颗骰子次,求投出的点数之和为的概率.18如图，在直三棱中，点是棱的中点,，.(1)求证:平面;(2)若是的中点，求三棱锥的体积.19.已知在中，内角所对的边分别为,且.(1)求的值；(2)求的面积.20.为了了解某年龄段名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部
7、介于秒与秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组,第二组,第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，巳知图中从左到右前个组的频率之比为,且第二组的频数为.(1)将频率当作概率,请估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数;(2)求调査中随机抽取了多少名学生的百米成绩;(3)若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于秒的概率.21.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里;当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里. (1)求乙船的速度；(2)若乙船
8、在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变,试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇,请说明理由.22.如图,边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将,分别沿折起，使将两点重合于点.(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.梅河口市2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题答案1.由，复数在复平面内对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第一象限.2.由题意得和平行，故,解得，故选.3.因为调查方式是抽样调查，所以项不正确；因为样本是这个成年人，所以项也不正确,项显然不正确.4.一个多面体至少有个面，如三棱锥有个面，不存在有个面的多面体.
9、所以选项错误;选项错误，反例如图；选项错误，反例如图2.上、下底面是全等的菱形.各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项正确.故选.5.由题意，所求概率即为摸出的两个球中有白球的概率，设个红球分别记为.个白球分别记为,则所有可能的结果为，共种，符合条件的结果为.，共种，即所求概率为.6.由题图可知,选择自助终端机和网上银行缴费人数共占比例是,样本人数是,所以人数是,所以项错误，其它三项都是正确的.7.因为 ,所以,所以,所以.8.对于,.为等腰三角形或直角三角形.错误；对于由, 或.不一定是直角三角形,错误； 对于,. 为钝角三角形,正确； 对于由正弦定理，得尊,或.或,.不
10、一定为等腰三角形,错误.故选.9.因为平面内有无数条直线与直线垂直，所以项正确;平面与也可以相交,此时只需直线同时平行他们的交线，所以项不正确；显然项正确;直线在平面外包括和与相交，所以交点 个数为或，所以项不正确.10.以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，设,21则,.故在上为增函数，故11.设正方体的边长为,则外接球的半径，内切球的半径,所以线段的最小值,解得,所以,所以选项正确，线段的最大值为选项错误.12.ABD ,因此正确；四边形面积等于因此正确,错误.故选13.据题设知,.,所以,所以.又与不共线，所以,所以.14. 由题意得，解得.15.由,得,结合正弦定理可得即，由余弦定理得,
11、即,联立可得,则，故.16. 因为平面平面,平面平面，平面平面，所以,取的中点分别为,连接，如图所示，则，所以,所以异面直线与所成的角为或其补角，又因为,所以，.所以,所以.17.解：(1)记事件为个素数的和为.不超过的素数有共个.从中选取两个数相加，有（可罗列，可用组合数公式计算）种不同的选法，其中和为的有共种，所以.（2）记事件为投出的点数之和为.投掷一颗骰子次,基本事件总数为（可罗列，可计算），点数之和为包含了这个基本事件，所以.18.(1)证明：连接,交于点,则为的中点，连接,又是的中点，平面.平面,平面.(2)解：平面.，点，到平面的距离相等.即，,即,是的中点,19.解:(1)由,
12、得,即,解得：(2)在中,.20.解：(1)百米成绩在内的频率为,所以估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数为人.(2)设图中从左到右前个组的频率分别为.依题意，得, 所以.设调査中随机抽取了名学生的百米成绩，则,得,所以调查中随机抽取了名学生的 百米成绩. (3)百米成绩在第一组的学生数有,记他们的成绩为；百米成绩在第五组的学生数有,记他们的成绩为,则从第一、第五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有,共21个.其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有,所以两个成绩的差的绝对值大于秒的概率为.21.解;连接.由题意可得,.,是等边三角形，,在 中，由余弦定理得.所以 .所以乙船的速度为(海里/小时).(2)分别延长交于点由得，所以. 故,则 ,所以. 则在中，由余弦定理，得,则.因为所以两船会相遇，且甲船从到相遇所用时间为小时.22.证明：在正方形中，有.则 .又 ,平面， 而 平面 . (2)解:连接交于点,连接.在正方形中，点是的中点，点是的中点，,点为的中点，且. 正方形的边长为.,平面. 在面的射影在上, 则即为直线与平面所成的角. 由(1)可得,为直角三角形，正方形的边长为,又直线与平面所成角的正弦值为.15
