1、 第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点课时过关能力提升基础巩固1.下列图象表示的函数没有零点的是()解析:若函数的图象与 x 轴有交点,则函数有零点;反之,函数无零点.答案:A2.函数 f(x)=2x2-3x+1 的零点是()A.解析:方程 2x2-3x+1=0 的两根分别为 x1=1,x2 所以函数f(x)=2x2-3x+1 的零点是 答案:B3.方程()的解有 A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个解析:设 g(x)()在同一坐标系中,画出函数 g(x)和 h(x)的图象,如图所示,g(x)和 h(x)的图象仅有一个交点,则方程()仅有一个解.答案:B4.已
2、知函数 f(x)在下列区间中 包含 零点的区间是 A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)解析:由题意知 f(1)故f(2)f(4)0.由零点存在性定理可知,包含 f(x)零点的区间为(2,4).答案:C5.函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:在同一坐标系内,作出 p(x)=|x-2|,q(x)=ln x 的图象,如图所示.由图象可知 p(x),q(x)的图象有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点.答案:C6.设 x0是方程 ln x+x=4 的解,则 x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3
3、)D.(3,4)解析:设 f(x)=ln x+x-4,则 f(1)=-30,f(2)=ln 2-20,f(4)=ln 40,则 x0(2,3).答案:C7.若函数 f(x)-则函数 的零点是 解析:g(x)=f(4x)-x -令 -解得x 则函数g(x)的零点是 x 答案:x 8.函数 f(x)-的零点个数为 解析:当 x0 时,令 x2+2x-3=0,解得 x=-3;当 x0 时,令-2+ln x=0,解得 x=e2,所以原函数有 2 个零点.答案:29.若函数 f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,则实数 k 的取值范围是 .解析:f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,y1=kx
4、与 y2=2x的图象在(0,1)内有交点.画出 y2=2x在(0,1)内的图象,如图,又知 y1=kx 过原点,故可知k2 时,y1与 y2在(0,1)内有交点.答案:(2,+)10.求下列函数的零点:(1)f(x)=5x-3;(2)f(x)-(3)f(x)=x7-2.解:(1)令 5x-3=0,则 5x=3,解得 x=log53,即函数 f(x)的零点是 x=log53.(2)令 -解得x=1,即函数 f(x)的零点是 x=1.(3)令 x7-2=0,解得 x 即函数 f(x)的零点是 x 能力提升1.设函数 y=x3与 y()-的图象交点为 则 所在的区间是 A.(0,1)B.(1,2)C
5、.(2,3)D.(3,4)解析:令 f(x)=x3()-则f(0)=0()-()-()()()故f(1)f(2)0,即 x0所在的区间是(1,2).答案:B2.已知 x0是函数 f(x)=2x -的一个零点 若 (1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:易知函数 f(x)=2x -在(1,+)上是增函数,且 f(x0)=0,故当 x1(1,x0),x2(x0,+)时,f(x1)0.答案:B3.设二次函数 f(x)=x2-x+a(a0),若 f(m)0,且 f(m)0,即 a 设 f(x)的两个零点为
6、x1,x2,且 x10,x1mx2,所以 x2-x1 -由于 0a 则-则m-10.答案:A4.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数 f(x)的两个零点,则实数 a,b,的大小关系可能是()A.abB.abC.abD.ab解析:,是函数 f(x)的两个零点,f()=f()=0.又 f(x)=(x-a)(x-b)-2,f(a)=f(b)=-21,即 a-1.答案:(-,-1)6.已知函数f(x)若存在实数 使函数 有两个零点 则 的取值范围是 解析:要使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,应使 f(x)图象与直线 y=b 有两个不同的交点.当 0a1 时,由 f(x)的图
7、象知 f(x)在定义域 R 上单调递增,它与直线 y=b 不可能有两个交点.当 a0 时,由 f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,0)上递减,在0,+)上递增,且 a30,所以,当 0b1 时,由 f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,+)上递增,但 a3a2,所以当 a2ba3时,f(x)图象与 y=b 有两个不同的交点.综上,实数 a 的取值范围是 a1.答案:(-,0)(1,+)7.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)在区间(-,0)上单调递增,函数 f(x)的一个零点为 求满足 0 的 x 的取值范围.解:因为函数 y=f(x)在区间(-,
8、0)上单调递增,函数 f(x)的一个零点为 且f(x)是奇函数,所以作出 f(x)的大致图象,如图所示.由()0,得 l 0 或 l 解得 1x2 或 0 x 所以 x 的取值范围是(1,2.8.已知二次函数 f(x)满足 f(0)=3,f(x+1)=f(x)+2x.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)令 g(x)=f(|x|)+m(mR),若函数 g(x)有 4 个零点,求实数 m 的取值范围.解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a0),f(0)=3,c=3,即 f(x)=ax2+bx+3(a0).f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+(a+b+3),f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3.f(x+1)=f(x)+2x,解得 f(x)=x2-x+3.(2)由(1),得 g(x)=x2-|x|+3+m,在平面直角坐标系中画出函数 g(x)的大致图象,如图所示,由函数 g(x)有 4 个零点,得函数 g(x)的图象与 x 轴有 4 个交点.由图象得 解得-3m 即实数 m 的取值范围是(-)