1、2.2函数的单调性与最值 知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义(2)函数单调性的三种等价形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么x1x20，若f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0.()(3)函数yf(x)在0，)上为增函数，则函数yf(x)的增区间为0，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P39B组T3)下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是()Ay2x Bylogx
2、 Cyx1 Dyx3答案C解析函数y2x在区间(，0)上是增函数；函数ylogx在区间(，0)上无意义；函数yx1在区间(，0)上是减函数；函数yx3在区间(，0)上是增函数故选C.(2)(必修A1P45B组T4)已知函数f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是()A3a0 B3a2Ca2 Da1)，由分段函数的性质可知，函数g(x)x2ax5在(，1单调递增，函数h(x)在(1，)单调递增，且g(1)h(1)，解得3a2.故选B.3小题热身(1)(2014天津高考)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)答案D解析由x240得x2.令ux2
3、4，易知ux24在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，ylogu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，2)故选D.(2)(2017保定期末)直角梯形OABC中ABOC，AB1，OCBC2，直线l：xt截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数Sf(t)的图象大致为()答案C解析由题意可知：当0t1时，f(t)t2tt2，当10.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数本题用定义法解(1)由2f(1)f(1)，可得22aa，得a.(2)证明：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)a(x1x
4、2)(x1x2).0x1，0x2，00，f(x)在0，)上单调递减方法技巧确定函数单调性(区间)的常用方法1定义法：本例采用了定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论其关键是作差变形见典例2图象法：如冲关针对训练1.3导数法：本例也可采用求导法利用导数取值的正负确定函数的单调性见冲关针对训练2.冲关针对训练1已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案C解析依题意知f(x)在R上是增函数，由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a0)在(0，)上的单调性解f(x)x(a0)，f(x)1，令f(x)0，
5、计算得出x，当f(x)0，即x时，f(x)单调递增，当f(x)0，即0x0，得x4或x0.y1.由y0解得x1.列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)条件探究若本典例变为f(x)axln x研究单调区间时，应注意什么问题？解由于参数a范围未定，所以要对a进行分类讨论f(x)axln x的定义域为(0，)，f(x)a，当a0时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0，x时，f(x)0；故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.方法技巧1研究函数的单调性及求单调区间问题，首先求出函数的定义域(定义域优先原则)2对已知函数解析式的构成进
6、行分析，变形转化，变成几个基本初等函数组成的形式，再根据基本初等函数的性质，研究函数的单调性例如：典例1函数f(x)ln (x22x8)是由yln u，ux22x8复合而成的，u是中间变量典例2条件探究函数f(x)x22|x|3，带绝对值符号的可去掉绝对值符号，化为分段函数f(x)3若函数解析式是由yln x，yex与其他基本函数构成的复杂函数，需要考虑求导法如典例3.冲关针对训练1(2017洛阳二模)函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.B，1C(，0)D，答案B解析由图象可知，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)和，单调递增区
7、间为.0ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac本题利用对称性转化到同一单调区间，再用单调性比较大小答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，所以aff，故bac.故选D.角度2利用函数的单调性解不等式f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8)本题用转化法，利用函数单调性把不等式从抽象转化到具体答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因
8、为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得80在x1时恒成立，令g(x)(3a1)x4a，则必有即且0a1a.此时，logax是减函数，符合题意故选C.方法技巧函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决如角度1典例2在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时，应特别注意函数的定义域如角度2典例3利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解如角度3典例4利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调
9、区间，与已知单调区间比较求参数如角度4典例提醒：若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的冲关针对训练1(2017江西三校第一次联考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0)(x1x2)，都有0.则下列结论正确的是()Af(0.32)f(20.3)f(log25)Bf(log25)f(20.3)f(0.32)Cf(log25)f(0.32)f(20.3)Df(0.32)f(log25)f(20.3)答案A解析对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有0，f(x)在(，0)上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，f(x)在(0，)上是增函数，00.322
10、0.3log25，f(0.32)f(20.3)0且a1，若函数f(x)loga在上是增函数，则a的取值范围是_答案解析由复合函数单调性可知当a1时，解得a；当0a1时，解得0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立对于选项A，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意经验证，选项B，C，D均不符合题意故选A.2(2018三门峡模拟)设函数f(x)若f(a1)f(2a1)，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，2C2,6 D2，)答案B解析函数f(x)是在定义域为R上的增函数f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2.故实数a的取值范围是
11、(，2故选B.3(2017合肥模拟)若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0答案B解析设函数f(x)2x5x，易知f(x)为增函数，又f(y)2y5y，由已知得f(x)f(y)，xy，xy0.故选B.4(2017辽宁三校联考)已知函数f(x)的值域是0,2，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1， C1,2 D，2答案B解析先作出函数f(x)log2(1x)1，1x0得x1，由f(x)0，得0x1.当x1时，f(x)在0xa上有最小值f(1)0.又f()2.1a.故选B. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017衡阳四中月考)函数yf(x)在区间0,2上单调递增，且
12、函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)ff Bff(1)fCfff(1) Dff(1)3，所以ff(3)f，即ff(1)f.故选B.2(2017武汉调研)若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)答案B解析f(x)ax1在R上递减，a0.而g(x)a(x24x3)a(x2)2a.a0，则此函数的单调递减区间是()A(，3) B(1，)C(，1) D(1，)答案A解析当x2时，yloga(22223)loga5，yloga50，a1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足解之得x0.g(x)x2a在(
13、0，)上单调递减，在(，)上单调递增g(x)在(0，)上一定有最小值故选A.5(2018太原模拟)已知f(x)x2cosx，则f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小关系是()Af(0)f(0.6)f(0.5)Bf(0)f(0.5)f(0.6)Cf(0.6)f(0.5)f(0)Df(0.5)f(0)0.f(x)在(0,1)上是增函数，f(0)f(0.5)f(0.6)，即f(0)f(0.5)f(0.6)故选B.6(2018贵阳模拟)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x2x，x2,2的最大值等于()A1 B1 C6 D12答案C解析由已知得当2x1时，f(x
14、)x2，当1f(1)的实数x的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，1)(1,2) D(，1)(2，)答案D解析f(x)为R上的减函数，由ff(1)得1.解得x2.x的取值范围是(，1)(2，)故选D.8已知a0，设函数f(x)(xa，a)的最大值为M，最小值为N，那么MN()A2018 B2019 C4028 D4027答案C解析由题意得f(x)2018.y2018x1在a，a上是单调递增的，f(x)2018在a，a上是单调递增的，Mf(a)，Nf(a)，MNf(a)f(a)40364028.故选C.9(2017集宁期末)函数f(x)在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.
15、 B.C(2，) D(，1)(1，)答案B解析当a0时，f(x)在区间(2，)上单调递减，故a0舍去，a0，此时f(x)a，又因为y在区间(2，)上单调递减，而函数f(x)在区间(2，)上单调递增，12a.故选B.10(2018山西联考)若函数f(x)log0.2(54xx2)在区间(a1，a1)上递减，且blg 0.2，c20.2，则()Acba Bbca Cabc Dbac答案D解析f(x)定义域为x|1x5，令u54xx2，ylog0.2u，u(x)在(1,2)上单调增，且ylog0.2u为单调减函数，由复合函数单调性知f(x)在(1,2)上为减函数，(a1，a1)(1,2)即0a1，又
16、由于blg 0.2b，c20.2201，cab.故选D.二、填空题11(2017山东济宁模拟)若函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是_答案解析因为函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，则a0时，f(x)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，且f(0)f(0)f(0)，f(0)
17、0，又f(3)f(3)f(33)0，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.16已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x2x10，f(x2)f(x1)0，f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意，a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2).1x1x2，x1x21，20，h(x1)h(x2)，h(x)在(1，)上单调递增故ah(1)，即a3，a的取值范围是(，3.