1、第5讲函数的单调性与最值考纲要求考情分析命题趋势理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2017全国卷，52017浙江卷，172016全国卷，21(1)2016四川卷，20(1)1函数的单调性和最值等是高考热点题型，经常是利用单调性求最值或者是求参数的范围2难度小，偏重技巧，主要以选、填形式出现，属基础试题3解题时考生要认真分析，选准突破口，采用适当的方法，如数形结合、分类讨论等方法函数的单调区间不能用并集，注意端点值的取舍分值：46分1增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，(1)如果对于定义域I内某个区间D上的_任意两个_自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(
2、x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_增函数_.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的_任意两个_自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_减函数_.2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)_单调性_，区间D叫做yf(x)的_单调区间_.3函数的最大值与最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有_f(x)M_；存在x0I，使得_f(x0)M_，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(2)对于任意的xI，都有_f(x)M_；存在x0I，使得_f
3、(x0)M_，那么我们称M是函数yf(x)的最小值4函数单调性的常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1x2f(x1)f(x2)x1f(x2)图象法函数图象是上升的函数图象是下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增递增递增递减递减递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反5对勾函数的单调性对勾函数yx(a0)的递增区间为(，和，)；递减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y的单调递减区间为(，0)(0，)()(2)函数f(x)在区间a，b上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为a，b()(3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f
4、(x)g(x)也是增函数()(4)已知函数yf(x)在R上是增函数，则函数yf(x)在R上是减函数()解析(1)错误一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接(2)错误f(x)在区间a，b上是递增的并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为a，b意味着f(x)在其他区间上不可能是递增的(3)错误举反例：设f(x)x，g(x)x2都是定义域R上的增函数，但是 f(x)g(x)x22x在R上不是增函数(4)正确易知函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确2(2016北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减
5、函数的是(D)AyBycos xCyln(x1)Dy2x解析A项中，y的图象是将y的图象向右平移1个单位得到的，故y在(1,1)上为增函数，不符合题意；B项中，ycos x在(1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C项中，yln (x1)的图象是将yln x的图象向左平移1个单位得到的，故yln (x1)在(1,1)上为增函数，不符合题意；D项符合题意3若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(C)A2B2C2或2D0解析当a0时，由题意得2a1(a1)2，则a2；当a0)在x(1,1)上的单调性解析(1)任取x1，x2(1，)，且x11，x21，x1
6、10，x210，又x10，0，即y1y20.y1y2，函数y在(1，)上是减函数(2)f(x).又a0，所以f(x)0，则x2.函数y (x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴为x，且开口向上，ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而yu在(0，)上是单调减函数，y (x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)三求函数的值域(最值)求函数值域(最值)的常用方法(1)分离常数法形如y(ac0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解(2)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)a(f(x)2bf(x)c(a0)的
7、函数的值域问题，均可使用配方法(3)换元法代数换元，形如yaxb(a，b，c，d为常数，ac0)的函数，可设t(t0)，转化为二次函数求值域三角换元对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)【例3】 求下列函数的值域(1)y，x3，1；(2)y2x；(3)yx4；(4)y.解析(1)(有界性法)由y，得x.3x1，31，解得y3，函数的值域为.(2)(代数换元法)令t(t0)，则x，yt2t12.当t，即x时，y取最大值，ymax，且y无最小值，函数的值域为.(3)(三角换元法)令x3cos ，0
8、，则y3cos 43sin 3sin4.0，sin11y34，函数的值域为1,34(4)(数形结合法)如图，函数y的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(3,4)和点B(5,2)的距离之和由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B(5，2)，连接AB交x轴于点P，此时距离之和最小，ymin|AB|10，又y无最大值，函数的值域为10，)四函数单调性的应用(1)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内(2)比较函数值大小的思路：比较函
9、数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解【例4】 (1)(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数，若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是(D)A2,2B1,1C0,4D1,3(2)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(D)ABCD(3)若函数f(x)loga(6ax)在0,2上为减函数，则实数a的取
10、值范围是(B)A(0,1)B(1,3)C(1,3D3，)解析(1)函数f(x)在(，)单调递减，且f(1)1，f(1)f(1)，由1f(x2)1，得1x21，1x3，故选D(2)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，得a1且62a0，解得1a3，故选B1已知偶函数f(x)在区间(，0上单调递减，则满足f(2x1)f的x的取值范围是(A)ABCD解析由函数f(x)为偶函数且在区间(，0上单调递减，得函数f(x)在区间0，)上单调递增，于是将不等式f(2x1)f转化为f(
11、|2x1|)f.根据单调性，知|2x1|，解得x，故选A2(2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm(B)A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关解析f(x)2b，当01，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb,1ab，Mmmax与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0,1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关，故选B3若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_6_.解析由图象的对称性，知函数f(x)|2xa
12、|关于直线x对称，因为函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，所以3，即a6.4函数yx(x0)的最大值为！#.解析令t，则t0，所以ytt22，结合图象知，当t，即x时，ymax.易错点1忽视函数的定义域错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的“同增异减”原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则【例1】 函数y的单调增区间为_，减区间为_.解析由x22x0得函数的定义域为0,2tx22x(x1)21在0,1)上是增函数，在1,2上是减函数，又y在0，)上是增函数，函数y的单调增区间为0,1)，减区间为1,2答案0,1)1,2【跟踪训练1】 若函数f(x)a|bx|2在0，
13、)上为增函数，则实数a，b的取值范围分别为_(0，)，(，0_.解析|bx|xb|，y|xb|的图象如下f(x)在0，)上为增函数，b0，a0.易错点2忽视分段函数的分界点错因分析：单调递增(减)区间上的函数图象自左往右整体呈上升(下降)趋势，中间可能断开【例2】 已知f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,1)BCD解析由已知得解得a0成立，那么a的取值范围是.解析由已知条件得f(x)为增函数，解得a2，a的取值范围是.课时达标第5讲解密考纲本考点考查函数的单调性单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数
14、、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度一、选择题1下列函数中，在区间(0,1上是增函数且最大值为1的为(C)Ayx2ByxCyDy2x解析yx2在区间(0,1上是减函数，不满足条件；yx在区间(0,1上是减函数，不满足条件；y在区间(0,1上是增函数，最大值为y1，满足条件；y2x在区间(0,1上是增函数，最大值为y2，不满足条件，故选C2(2018黑龙江牡丹江一中期中)函数y3x23x2，x1,2的值域是(B)ARBC9,243D3，)解析令tx23x2，x1,2，tx23x22.又y3t在上单调递增，则y3t.函数y3x23x2，x1,2的值域是.3设函数f(x)定义在实数集上，
15、它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则(B)AfffBfffCfffDfff解析由题设知，当x1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，而x1为对称轴，fff，又ff，即fff，故选B4已知f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为(B)A(1，)B4,8)C(4,8)D(1,8)解析f(x)是R上的增函数，a1且40且a42，解得，4a0，即x3或x3时，函数tx22x3单调递增；当xf(a)，则实数a的取值范围是(C)A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析f(x)由f(x)的图象可知f(x)在R上是增函数，由f(2a2)f(a)，得2
16、a2a，即a2a20，解得2a1二、填空题7(2018山东日照调研)函数f(x)的最大值为_2_.解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值f(1)1；当x0)上的最大值为M，最小值为m，则Mm_4_.解析f(x)ln(x)ln(x)3，函数f(x)在R上为单调递增，Mf(k)ln(k)3，mf(k)ln(k)3，Mmf(k)f(k)ln 162624.三、解答题10已知函数f(x)，x0,2，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值解析设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由0x10，(x11)(x21)0，所以f(x1
17、)f(x2)0，即f(x1)12，由f(x)f12，有f(x(x12)f(64)，所以x(x12)64.所以x212x64(x16)(x4)0，得4x16，又x12，所以x(12,1612已知f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解析(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，1x11，2x1x210.又x1x20，f(x1)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上单调递减，当x1时，(x)取最大值为(1)3，a3，故a的取值范围是(3，)