1、第一课 任意角的三角函数及诱导公式【网络体系】【核心速填】1.与角 终边相同的角的集合为 S_.k 360kZ，2.角度制与弧度制的换算221801803.弧度制下扇形的弧长和面积公式(1)弧长公式：l=_.(2)面积公式：|rS_.1 lr221|r2 4.任意角的三角函数(1)定义1：设任意角 的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin=_，cos=_，(x0).(2)定义2：设任意角 的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，r=|OP|=_，则sin=_，cos=_，tan=_(x0).tan_ yxyx22xyyrxryx5.同角三角函数基本关系式 _+_=1；_=tan.sin2cos
2、2sincos6.诱导公式(1)公式：_，_，_，kZ，_，_，_，sin(2k)cos(2k)tan(2k)sin()cos()tan()sincostan-sin-costan _，_，_，_，_，_，sin()cos()tan()sin()cos()tan()-sincos-tansin-cos-tan _，_，_，_.(2)记忆口诀：奇_偶_，符号看_.sin()2 cos()2 sin()2 cos()2 cossincos-sin变不变象限【易错提醒】1.关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化.如小于90的角可能是零角、锐角或负角.(2)注意象限角、
3、锐角、钝角等概念的区别和联系.如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.2.确定角所在象限的关注点 由三角函数值符号确定角 的象限时，不要忽视 的终边可能落在坐标轴上，如sin 0时，终边在第三、四象限或y轴负半轴上.3.关注正切函数的定义域(1)正切函数y=tanx的定义域为 不可写为 (2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件.xR xkkZ2，x|xk 36090kZ.，4.平方关系应用的关注点 由平方关系sin2+cos2=1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论.5.正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将 的三角函数值化
4、为的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用.(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化.kkZ2 （）类型一 象限角及终边相同的角【典例1】1.(2015六安高一检测)已知 是锐角，那么2 是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180的正角 D.第一或第二象限角 2.已知=1690，(1)把 表示成2k+的形式，其中kZ，0，2).(2)求，使 与 的终边相同，且(-4，-2).【解析】1.选C.因为是锐角，所以 所以02，所以2可能是第一或第二象限角，也可能是终边落在y轴非负半轴上的角，故选C.02 ，2.11 6904 360250.253602 rad 2
5、50250radrad18018258.182252kkZ.182542k21825252k1kZk2.36362547k24.1818 ，所以因与 的相同，所以由知，由得，又，所以，为终边当时【延伸探究】典例1中“锐”改“钝”，那么 是第几象限角？【解析】因为是钝角，所以 ，所以 所以是第一象限角.a22422，【方法技巧】1.灵活应用角度制或弧度制表示角(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用.(2)角度制与弧度制的换算 设一个角的弧度数为，角度数为n，则 180rad()nn rad.180 ，2.象限角的判定方法(1)根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同 的角的概念，因为0
6、360之间的角与坐标系中的射线 可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0360范围内.在直角坐标平面内，0360范围内没有两个角终边是相同的.【拓展延伸】理解角的概念的三个“明确”【变式训练】如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成.故满足条件的角的集合为 (2)若将终边为OA的一个角改写为 ，此时阴影部分可以 看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为 34|2k2kkZ.43，652k2kkZ.612 ，(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转 rad而
7、得到，所以满足条件的角的集合为 (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为 kkkZ.2 ，25kkkZ.36 ，【补偿训练】1.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k+45(kZ)B.k360+，kZ C.k360-315(kZ)D.k+，kZ【解析】选C.角度与弧度不能混用，故A、B错误.k+，kZ，表 示终边落在直线y=x上的角，故D错误.=45，-315=-360+45，故45与-315终边相同，所以与 终边相同的角可表示为k360-315，kZ.4444442.与-2002终边相同的最小正角是_.【
8、解析】因为-2002=-6360+158，所以与-2002终边相同的角可表示为k360+158，kZ，其中最小正角是158.答案：158 类型二 弧度制下扇形弧长和面积的计算【典例2】(2015吉安高一检测)已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角(0 )的大小.(2)求 所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)因为OA=OB=AB=10，所以AOB是等边三角形，所以=.(2)所在的扇形弧长l=|r=10=，所在的扇形面积 等边AOB中，AB边上的高 所以 所以 所在的弓形的面积 33103221150S|r102233扇，3hOAsin105 33
9、2，AOB1S10 5 325 32，ABAOB50SSS25 3.3扇【方法技巧】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略：明确弧度制下弧长公式l=|r，扇形的面积公式是S=lr=|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角).涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.1212(2)注意点：在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.看清角的度量制，选用相应的公式.扇形的周长等于弧长加两个半径长.【变式训练】(1)一扇形的圆心角为72，半径等于20cm，求扇形的
10、弧长以及扇形的面积.(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.(只计算02 之间的角)【解析】(1)设圆心角为，则弧长公式：l=|r.扇形面积公式：因为 所以扇形弧长 扇形面积 1Sr.2l27272rad.1805 2|r208cm5 ，l211Sr82080cm.22 l2r10r1r4(2)182.r42r18 rad2rad.8rr421 rad2r421 rad.2 ，由意知解得或，若扇形的心角（舍去），若扇形的心角，故扇形的心角的弧度题则圆则圆圆数为llllllll【补偿训练】1.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A
11、.4cm2 B.2cm2 C.4 cm2 D.2 cm2【解析】选A.设此圆心角所夹的扇形的半径为r，则2r=4，所以r=2cm，S扇=|r2=222=4(cm2).12122.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，ACB=，则劣弧 的长为_.【解析】连接OA，OB，因为ACB=，所以AOB=，AOB为等边 三角形，故圆O的半径r=AB=4.劣弧 的长为 r=.答案：6AB63AB34343类型三 任意角三角函数的定义【典例3】1.(2015张掖高一检测)已知角 的始边与x轴正半轴重合，终边在射线3x-4y=0(x0)上，则sin-cos=_.2.点P从(1，0)出发，沿单位圆x2+y2
12、=1按顺时针方向运动 弧长到达Q点，则Q的坐标为_.33.已知 是第二象限角，在第二象限内将角 的终边绕原点按逆时针方向旋转，得到第二象限角 的终边，如图所示，利用单位圆中的三角函数线比较下列各组数的大小.(1)sin，sin.(2)cos，cos.(3)tan，tan.【解析】1.在射线3x-4y=0(x0)上任取一点P(4a，3a)，aBF，OAOB，CPsin.(2)cos cos.(3)tan 0，cos0，点 P在第四象限；当是第三象限角时，sin0，cos0，点P在第三象限；当是第四象限角时，sin0，点P在第二象限.答案：四 三 二【补偿训练】1.若角 的终边经过点 则sin+c
13、os 的 值为_.2.已知角 的终边过点P(12，a)，且 求sin+cos 的值.【解析】1.由题意知，角的终边与单位圆交点坐标为 ，所以 所以 答案：13P()22，5tan12，13()22，13cossin22 ，13sincos.2 1322.因为角的终边过点P(12，a)，且 ，所以 所以a=5，所以点P(12，5)到原点的距离r=|OP|=13，所以 5tan12，a51212，2212551217sincos.131313 类型四 同角三角函数的基本关系【典 例 4】1.(2015 南 昌 高 一 检 测)已 知 tan=3，则 sin2-3sin cos+4=()A.1 B.
14、2 C.3 D.4 2.(1)已知sin=，并且 是第二象限角，求cos 和tan.(2)已知cos=-，求sin 和tan.121345【解析】1.选D.原式 2.(1)又因为是第二象限角，所以cos0，所以 22222sin3sin costan3tan444.sin costan12222125cos1 sin1()()1313 ，5sin12costan.13cos5 ，(2)因为 所以是第二或第三象限角，当是第二象限角时，当是第三象限角时，222243sin1 cos1()()55 ，4cos05 ，3sin3sintan5cos4 ，；3sin3sintan.5cos4 ，【方法技
15、巧】1.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin=m，可以先应用公式 求得cos 的值，再由公式 求得tan 的值.(2)若已知cos=m，可以先应用公式 求得sin 的值，再由公式 求得tan 的值.(3)若已知tan=m，可以应用公式 及sin2+cos2=1，求得 的值.2cos1 sin ，sintancos 2sin1 cos ，sintancos sintanmsinm coscos 221mcossin1 m1 m ，2.已知tan 求关于sin，cos 齐次式值的方法(1)已知tan=m，可以求 的值，将分子分母同除以cos 或cos2，化成关于tan 的式子，从
16、而达到求值的目的.(2)对于asin2+bsin cos+ccos2 的求值，可看成分母是1，利用1=sin2+cos2 进行代替后分子分母同时除以cos2，得到关于tan 的式子，从而可以求值.2222asinbcosasinbsin cosccoscsindcosdsinesin cosfcos 或【变式训练】1.(2015淮安高一检测)sin+cos=，(0，)，则tan=_.1522221sincos51(sincos)25112sin cos2512sin cos25sin costan12sin cossincostan12534tantan43 因，所以，即，所以【，所以，解得或
17、解析】，为1(0)sincos15()|sin|cos|2|tan|14tan.343 因，所以，且，所以以答案：，所为【误区警示】解本题时容易忽视对取值范围的判断，导致产生增解.222sinsin(sin)sincos(cossin)cos1cossin cossinsinsin cossincoscos1cossin cossinsincoscossin cossin.cos 【解析】原式sin(sintan)2.tan(cossin).1 cos 化：简【补偿训练】1.若sin cos=，则 的值是()A.-2 B.2 C.2 D.【解析】选B.因为 所以 解得tan=1，所以原式=12
18、costansin 1222sin cos1sin cossincos2，2tan1tan12，1tan1 12.tan 2.若 为第二象限角，则 =()A.sin B.-sin C.cos D.-cos 【解析】选B.因为为第二象限角，则cos0，则|sincos|=-sincos，所以原式=-sin.24sinsincos 2422sinsinsin(1 sin)22sincos|sin cos|.类型五 诱导公式的应用【典例5】1.已知sin(-)=log8 ，且 ，则tan(2-)的值为()14(0)2，2 52 52 55A.B.C.D.55522.(2015重庆高一检测)已知 为第
19、三象限角，(1)化简f()；(2)若 求f()的值.3sin()cos()tan()22f().tan()sin()31cos()25 ，【解析】1.选B.sin(-)=sin=log8 =-，tan(2-)=tan(-)142325(0)cos1 sin23 又，得，sin2 5.cos5 sin()cos()(tan)222.1 f()tan()sincoscos()tan2tansincossincos.sin （）2232cos()cos(2)cos()2221sin51sin.5cos1 sin12 61().552 6f().5 因，所以又因第三象限角，所以即为为 为【方法技巧】用
20、诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成 的形式，再用“奇变 偶不变，符号看象限”来化简.(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.32k(kkZ)222 ，或，3sin()sin()21.tan()2cos()cos()21A.3 B.C.1 D.13 【式】，（）训练设变则A.tantan 2sinsin()2sin(cos)sin sin()2sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos
21、tan 1tan 12 13.2 1 【因，所】原式析以解选为2.(2015黄冈高一检测)下列三角函数：其中函数值与sin的值相同的是()A.B.C.D.4sin(k)3；cos(2k)6；sin(k)3；cos2k16（）；sin2k13（）kZ（），【解析】选C.因为 不满足条件.满足条件.不满足条件.故不满足条件.故满足条件.4sin(k)sink133sin 3，cos(2k)cossin663，sin(k)sin33，5cos2k1cos()cos666，sin2k 1sin()sin333，511.sin()cos252112A.B.C.D.5555 已知，那么（【）】补偿训练5C.sin()sin(2)sin()22211coscos.55 【解析所以】，选2.在下列各式中：sin(+)=-sin；cos(-+)=-cos(-)；sin(-2)=-sin；cos(-)=cos(+).正确的序号是_.【解析】对于式，cos(-+)=cos-(-)=cos(-)，故错误，而由诱导公式可判定正确.答案：