1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时直线方程的两点式和一般式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)2.了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点)1.通过学习直线方程的两点式、截距式和一般式方程培养数学抽象素养.2.通过求解直线的方程及几种方程之间的互化提升数学运算素养.1直线方程的两点式设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的任意两点(1)两点满足的条件：x1x2且y1y2.(2)形式：.思考1：直线的两点式方程是否表示所有直线？提示：直线的两点式方程不表示平行于坐标轴的直线2直线方程的截距式(1)形式
2、：1.(2)a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距思考2：直线方程的截距式是否可以表示所有的直线？提示：直线方程的截距式不表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线3直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式1过点A(5,6)和点B(1,2)的直线方程的两点式是()A.B.C. D.B代入两点式方程，得，故B正确2已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为_1由直线方程的截距式，得1.3直线2x3y60的斜率是_，倾斜角是_(填“零”“锐”“直”或“钝角”)，在y轴
3、上的截距是_，截距式方程是_钝角21将方程化为斜截式得yx2，斜率k，倾斜角为钝角，在y轴上的截距为2，化为截距式方程为1.直线方程的两点式和截距式方程【例1】求满足下列条件的直线方程(1)过点A(2,3)，B(4，1)；(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等解(1)由两点式得，化简得2x3y50.(2)由截距式得1，化简为5x4y200.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x2y0；当直线不过原点时，设直线方程为1.因为直线过点P(2,3)，所以1，即a5.直线方程为1，即xy50.所以所求直线方程为3x2y0或xy50.1已知直线上的两点
4、坐标应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解2若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便1(1)直线l过点(1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为_；(2)过点(0，3)和(2,0)的直线的截距式方程为_；(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_(1)xy30(2)1(3)1(1)将(1,2)和(2,5)代入，得，即，直线l的方程为xy30.(2)因为直线在x轴，y轴上的截距分别为2，3，由直线方程的截距式，得方程为1.(3)设方程的截距式为1，则由题意得解得所以直线方程为1.直线方程的一
5、般式【例2】设直线l的方程为2x(k3)y2k60(k3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.解析(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为yx2，由题意得1，解得k5.(2)直线l的方程可化为1，由题意得k320，解得k1.1一般式化为斜截式的步骤：(1)移项得ByAxC；(2)当B0时，得斜截式：yx.2一般式化为截距式的步骤：方法一：(1)把常数项移到方程右边，得AxByC；(2)当C0时，方程两边同除以C，得1；(3)化为截距式：1.方法二：(1)令x0求直线在y轴上的截距b；(2)令y0求直线在x轴上的截距a；(3
6、)代入截距式方程1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式2下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()A3x4y70B4x3y70C4x3y420 D3x4y420B将一般式化为斜截式，斜率为的有B，C两项又yx14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确直线方程的综合应用探究问题1已知直线l：5ax5ya30，能否得出不论a为何值，直线l总经过第一象限？提示：将直线l的方程整理为ya，直线l过点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限2上述问题中，为使直线不经过第二象限，如何求a的取值范围提示：
7、要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x0时，y0，a3.【例3】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)证明：直线l的方程可变形为(a1)xy3(a1)0.即y3(a1)(x1)故不论a取何值，直线l恒过定点(1，3)(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.故a的取值范围是(，1若将本例中直线的方程变为“(a2)y(3a1)x1(aR)”其它不变，该题应如何做解(1)证明：直线方程可变为a(3xy)(x2y1)0的形式，令得不论a取何值，直线l必过定点.(2)
8、当斜率不存在，即a20时，a2，方程为x，直线过第一、四象限，符合条件；当斜率存在时，则斜率应大于等于0，在y轴上的截距小于等于0，即解得所以a2.综上，实数a的取值范围是2，)含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.这无穷多条直线是过同一个点的.这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键.1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求它的方程，此时直线的方程分别是xx1和yy1，而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式2直线
9、的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零1思考辨析(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A2B20)表示()(2)直线方程的特殊形式都可以转化为直线方程的一般式，但一般式不一定能转化为每一种特殊形式()(3)直线的一般式方程有A，B，C三个系数，所以需要由三个已知条件才能确定直线的一般式方程()(4)直线的一般式方程中直线的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)2过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为()Ayx3Byx1Cyx2 Dyx2A代入两点式得直线方程，整理得yx3.3若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数m满足_m3若方程不能表示直线，则m25m60且m23m0，解方程组得m3，所以m3时，方程表示一条直线4求过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程解若直线过原点，则k，yx，即4x3y0.若直线不过原点，设1，即xya.a3(4)1，xy10.故直线方程为4x3y0或xy10.- 8 - 版权所有高考资源网