1、2.2建立概率模型学 习 目 标核 心 素 养1.进一步掌握古典概型的概率计算公式(重点)2对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决(重点、难点)1.通过进一步运用古典概型的概率计算公式求解概率，提升数学运算素养2通过实际问题尝试建立不同的概率模型来解决，培养数学建模素养.由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数
2、越少，问题的解决就变得越简单(3)树状图是进行列举的一种常用方法思考：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？提示若一个试验是古典概型，需具备以下两点：(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型1一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()A.B.C. D.B这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为.2一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩
3、子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.B. C.D.A由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所求概率为P.3甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A. B.C. D.A先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.4某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，
4、则下列说法正确的是()A一定不会淋雨 B淋雨机会为C淋雨机会为 D淋雨机会为D用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，淋雨的概率为P.“有放回”与“不放回”的古典概型【例1】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率解(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(
5、a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件A由4个基本事件组成，因而P(A).(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些
6、基本事件的出现是等可能的用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件B由4个基本事件组成，因而P(B).1“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取2无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的1一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号
7、白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率解(1)设红色球有x个，依题意得，解得x4，所以红色球有4个(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A).“有
8、序”与“无序”问题【例2】将一颗骰子(它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，观察向上的点数(1)求两数之积是6的倍数的概率；(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则logx(2y)1的概率是多少？解(1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)，即两数之积是6的倍数的概率为.6612182430365510152025304481216202433691215182246810121123456积123456(2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二
9、次抛掷向上的点数分别为x，y，且logx(2y)1”为事件B，则满足logx(2y)1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三种情况，所以P(B)，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y且满足logx(2y)1的概率是.若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.2任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子(1)求出现的点数相同的概率；(2)求出现的点数之和为奇数的概率解(1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件其结果可表示为数组(i，
10、j)(i，j1,2，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6636(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i1,2，6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为.(2)法一出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数的数组有333318(个)，从而所求概率为.法二由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为.建立概率模型探究问题1掷一粒均匀
11、的骰子，若考虑向上的点数是多少，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事件出现的可能性相同，其概率都为.2掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这2个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为0.5.3在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？提示：不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验
12、的结果)是人为规定的只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型【例3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率思路探究用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可解将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来，等可能基本事件共有24个(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A).(2)设事
13、件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B).(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C).1解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算2本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理3甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上解利用树状图来列举基本事件，如图所示由树状图可看出共有24个基本事件(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，
14、丙), (甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)，故甲在边上的概率为P.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙), (丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P.对古典概型的认识一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型
15、的两个特征有限性和等可能性，例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型又如，从规格直径为3000.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.1思考辨析(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个()(2)树状图是进行列举的一种常用方法()(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂()(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个
16、数时，所选择的观察角度必须统一()解析(1)，由古典概型的特征知(1)正确(2)，用树状图进行列举直观形象(3)，结果越多问题就越复杂(4)，由古典概型的概率公式易知正确答案(1)(2)(3)(4)2甲、乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是_设两间房分别为A，B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(B，A)，(B，B)共计4种，则两人各住一间房包含(A，B)，(B，A)两个基本事件，故所求概率为.3有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是_7的倍数用7n(nN)表示，则7n100，解得n14，即在100以内有14个数是7的倍数，所以概率
17、为.4袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，(1)从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率解(1)设取出的2只球颜色不同为事件A.基本事件有(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种，故P(A).(2)设两次取得球的颜色相同为事件B.基本事件有(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P(B).