1、2008年全国高考数学试题分类汇编（数列）1（08上海）若数列an是首项为1，公比为a的无穷等比数列，且an各项的和为a，则a的值是（ B ）A1 B2 C D.2（08上海）(3+7+8)已知以a1为首项的数列an满足：an1当a11，c1，d3时，求数列an的通项公式当0a11，c1，d3时，试用a1表示数列an的前100项的和S100当0a1（m是正整数），c，d3m时，求证：数列a2，a3m+2，a6m+2，a9m+2成等比数列当且仅当d3man （kN） (9)1993.（08江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以
2、上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 4（16分）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以
3、不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足
4、要求。5.（08浙江）已知是等比数列，则（ C ）ABCD6（本题14分）已知数列，记：，求证：当时，（）；（）；（）本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力满分14分（）证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，因为 ，所以即当时，也成立根据和，可知对任何都成立（）证明：由，（），得因为，所以由及得，所以（）证明：由，得所以，于是，故当时，又因为，所以7（08陕西）各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（C）（A）80（B）30 (C)26 (D)16.CO8（08陕西）(本小题满分
5、12分)Z已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1.()求数列ak的通项公式;()对任意给定的正整数n(n2),数列bk满足（k=1,2,，n-1）,b1=1.ZX求b1+b2+bn.解：（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故9（08全国卷）设函数数列满足。（1）证明：函数在区间（0，1）上是增函数；（2）证明：（3）设b，整数k，证明：。10.（08重庆）设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .11（08重庆）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分.）设各项均为正数的数列an满足.（）若，求a
6、3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；（）记对n2恒成立，求a2的值及数列bn的通项公式.解：()因 由此有，故猜想的通项为 （）令 由题设知x1=1且 因式对n=2成立，有 下用反证法证明： 由得 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 又由知 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 由-得 对n求和得 由题设知 即不等式22k+1对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x2,结合式知x2=,因此a2=2*2=将x2=代入式得Sn=2(nN*),所以bn=2Sn=22(nN*)12（08海南宁夏卷）设等比数列的公比，前n项和为，则（ C ）A. 2B. 4C. D. 13（08海
7、南宁夏卷）（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。解：（）设的公差为，由已知条件，解出，所以（）所以时，取到最大值14（08福建）设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前7项的和为（C）A.63B.64C.127D.12815（08福建）已知函数f(x)=ln(1+x)-x1（）求f(x)的单调区间；（）记f(x)在区间（nN*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx. （）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（）求证： 小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性
8、质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f(x)=-1=.由f(x)0得-1x0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由f(x)0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为f(x)在0,n上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i) 又lim,因此c1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知因为2=所以(nN*),则N*）16（08湖南）数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为
9、一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，17（08广东）记等差数列的前项和为，若，则（ D ）A16B24C36D4818（08广东）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和【解析】（1
10、）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得.19（08湖北）已知函数f(x)=2x,等差数列an的公差为2.若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)= 6 .20. （08湖北）观察下列等式：可以推测，当x2（kN*）时， ak-2= . 21（08湖北）已知数列an和bn满
11、足：a1=,an+1=其中为实数，n为正整数.（）对任意实数，证明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1
12、=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.22（08天津）已知数列中，则 .解析：所以.23（08天津）在数列与中，数列的前项和满足,
13、为与的等比中项，.（）求的值；（）求数列与的通项公式；（）设.证明.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分14分（）解：由题设有，解得由题设又有，解得（）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，先证，当时，等式成立当时用数学归纳法证明如下：（1当时，等式成立（2）假设时等式成立，即，由题设，的两边分别减去的两边，整理得，从而这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立综上所述，等式对任何的都成立再用数学归纳法证明，（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立
14、，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立解法二：由题设的两边分别减去的两边，整理得，所以，将以上各式左右两端分别相乘，得，由（）并化简得，止式对也成立由题设有，所以，即，令，则，即由得，所以，即，解法：由题设有，所以，将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，由（），上式对也成立所以，上式对时也成立以下同解法二，可得，（）证明：当，时，注意到，故当，时，当，时，当，时，所以从而时，有总之，当时有，即24（08北京）已知数列对任意的满足，且，那么等于（C ）ABCD25（08北京）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定
15、义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，（）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（）证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，26（08安徽）在数列中，
16、，其中为常数，则的值为 1 27（08安徽）设数列满足,其中为实数。（）证明：对任意成立的充分必要条件是,()设,证明：;()设,证明：（）必要性：，又，即.充分性：设，对任意用数学归纳法证明.当时，.假设当时，则，且，.由数学归纳法知，对任意成立.() 设，当时，结论成立；当时，.，由（）知，且，.()设,当时，结论成立；当时，由()知，.28（08辽宁）在数列，中，且，成等差数列，成等比数列（）.（）求，及，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：.本小题主要考查等差数列，等比数例，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力. 满分12分.
17、解： （）由条件得由此可得 2分猜测 4分用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立.假设当n=k时，结论成立，即那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. 7分（）n2时，由（）知 9分故 综上，原不等式成立. 12分29（08江西）在数列中，则（A）A B C D30（08江西）等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列 （1）求与； （2）证明：解：设公差为d，由题意易知d0，且dN*，则通项=3 +（n1）d，前n项和。再设公比为q，则通项由可得 又为公比为64的等比数列， 联立、及d0，且dN*可解得q = 8，
18、d = 2通项= 2n + 1 ，nN*通项，nN*（2）由（1）知，nN*，nN*31（08四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(D )（） （）（） （）32（08四川）设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式【解】：由题意知，且两式相减得即 （）当时，由知于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得33（08全国卷）已知等差数列满足，则它的前10项的和（C ）A138B135C95D2334（08全国卷）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：由函数在区间是增函数，且函数
19、在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立. （）证明：由可得1， 若存在某满足，则由知：2， 若对任意都有，则，即成立.35（08山东）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足1=（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.()证明：由已知， 1, n=1 - n2.（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0. 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故 a82在表中第13行第三列，因此又所以 q=2. 记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）.