1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()A.46B.45C.43D.223解析A+B+C=180,又B=60,C=75,A=180-B-C=45.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=8sin60sin45=46.故选A.答案A2.在ABC中,若a=3,b=3,A=3,则角C的大小为()A.6B.4C.3D.2解析由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=3sin33=12.因为ab,所以AB,所以B=6,所以C=-3-6=2.答案D3.在ABC中,角A,
2、C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=34,则ca的值为()A.2B.12C.32D.1解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cos A=234=32.答案C4.在ABC中,已知BC=2AC,B6,4,则角A的取值范围为()A.4,2B.4,2C.4,34D.4,34解析BC=2AC,sin A=2sin B.B6,4,sin B12,22,sin A22,1,在ABC中,A4,34.答案D5.已知ABC外接圆的半径为1,则sin ABC=()A.11B.21C.12D.无法确定解析由正弦定理,得BCsinA=2R=2,所以sin A
3、BC=12.答案C6.ABC中,若sinAa=cosBb=cosCc,则该三角形一定是()A.等腰直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰三角形但不是直角三角形D.直角三角形但不是等腰三角形解析根据正弦定理,得asinA=bsinB.又sinAa=cosBb,所以bsinB=bcosB,则sin B=cos B,即tan B=1,则B=45,同理可得C=45.所以A=180-C-B=90.故ABC为等腰直角三角形.答案A7.在ABC中,sinAsinB=32,则a+bb的值为.解析由正弦定理,得a+bb=ab+1=sinAsinB+1=32+1=52.答案528.在ABC中,B=45,C
4、=60,c=1,则最短边的长等于.解析由三角形内角和定理,得A=75.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=12232=63.答案639.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),判断ABC的形状.解由题意,得(sin A+sin C)(sin C-sin A)=sin2B,即-sin2A+sin2C=sin2B.由正弦定理,得-a2+c2=b2,即a2+b2=c2,所以ABC是直角三角形.10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+32c=b.(
5、1)求角A的大小;(2)若a=1,b=3,求c的值.解(1)由acos C+32c=b和正弦定理,得sin Acos C+32sin C=sin B.sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,32sin C=cos Asin C.sin C0,cos A=32.0A,A=6.(2)由正弦定理,得sin B=bsinAa=3sin61=32.B=3或23.当B=3时,由A=6,得C=2,c=2.当B=23时,由A=6,得C=6,c=a=1.综上可得,c=1或c=2.能力提升1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c=6b,C=60,则B=()A.
6、45B.45或135C.30D.30或150解析在ABC中,2c=6b,C=60,可得b=2c6,由正弦定理bsinB=csinC,可得sin B=bsinCc=2c632c=22.bb可判断只有一解;对于D,810sin 60=53可知无解;对于B,10sin 45=52810,可知有两解.故选B.答案B3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C=c(1-3cos B),则ca=()A.13B.43C.3D.32解析由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k.3bcos C=c(1-3cos B),3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),化
7、简可得sin C=3sin (B+C).又A+B+C=,sin C=3sin A,ca=sin Csin A=3.故选C.答案C4.在ABC中,若tan A=13,C=150,BC=1,则AB=.解析因为tan A=13,A(0,180),所以sin A=1010.由正弦定理,得BCsinA=ABsinC,所以AB=BCsinCsinA=1sin1501010=102.答案1025.在ABC中,b+c=12,A=60,B=30,则c=,b=.解析由已知,得C=180-A-B=90,则bc=sinBsinC=12.b+c=12,b=4,c=8.答案846.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a
8、,b,c,若a=2,b=2,sin B+cos B=2,则角A的大小为.解析由sin B+cos B=2,得1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=2sin452=12.又ab,所以AB,所以A=30.答案307.在ABC中,若b =acos C,试判断该三角形的形状.解因为b=acos C,asinA=bsinB=2R(2R为ABC外接圆的直径),所以sin B=sin Acos C.因为B=-(A+C),所以sin(A+C)=sin Acos C,即sin AcosC+cos Asin C=sin Acos C
9、,所以cos Asin C=0.因为A,C(0,),所以cos A=0,所以A=2,故ABC为直角三角形.8.(选做题)在ABC中,AC=6,cos B=45,C=4.(1)求AB的长;(2)求cosA-6的值.解(1)因为cos B=45,0B,所以sin B=1-cos2B=1-452=35.由正弦定理,得ACsinB=ABsinC,所以AB=ACsinCsinB=62235=52.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cosB+4=-cos Bcos 4+sin Bsin4,又cos B=45,sin B=35,故cos A=-4522+3522=-210.因为0A,所以sin A=1-cos2A=7210.因此,cosA-6=cos Acos 6+sin Asin 6=-21032+721012=72-620.
