2020版新培优同步北师大版数学选修4-4练习：第1章 3　柱坐标系和球坐标系 WORD版含解析.docx

1、3柱坐标系和球坐标系课时过关能力提升1.若点M的直角坐标为(-1,-3,2),则它的柱坐标是().A.1,3,2 B.2,43,2C.2,3,2 D.3,3,2解析:设点M的柱坐标为(r,z),则tan =yx=3.因为02,x0,所以=43,r=xcos=-1cos43=2,z=2.所以点M的柱坐标为2,43,2.答案:B2.若点P的直角坐标为(-1,-1,2),则它的球坐标为().A.2,4,4 B.2,4,54C.2,54,4 D.2,34,4解析:设点P的球坐标为(r,),则有tan =yx=-1-1=1.因为02,x0,所以=54,r=(-1)2+(-1)2+(2)2=2.所以2=r

2、cos cos =22.因为0,所以=4.所以点P的球坐标为2,4,54.答案:B3.以地球中心为坐标原点,赤道所在平面为xOy平面,由原点指向北极的方向为z轴的正方向,本初子午线所在的平面为zOx平面,如图所示.某地在西经60,南纬45,地球的半径为R,则该地的球坐标可以表示为().A.R,3,4 B.R,4,3C.R,34,53 D.R,53,34答案:C4.已知点P的柱坐标为2,4,5,点B的球坐标为6,3,6,则这两个点在空间直角坐标系中的直角坐标分别为().A.点P(5,1,1),点B364,324,62B.点P(1,1,5),点B364,324,62C.点P364,324,62,点

3、B(1,1,5)D.点P(1,1,5),点B62,364,324解析:设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=2cos 4=222=1,y=2sin 4=1,z=5,即点P的空间直角坐标为(1,1,5).设点B的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin 3cos 6=364,y=6sin 3sin 6=324,z=6cos 3=62,即点B的空间直角坐标为364,324,62.答案:B5.在柱坐标系中,已知A1,2,0,B1,2,2及O(0,0,0)三点,则ABO的面积为.解析:因为A1,2,0,B1,2,2,O(0,0,0),所以OAB为直角三角形.所以SOAB=12|OA|AB|=1212

4、=1.答案:16.已知点M的球坐标为4,4,34,则点M到Oz轴的距离为_.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z).(r,)=4,4,34,x=rsincos=4sin4cos34=-2,y=rsinsin=4sin4sin34=2,z=rcos=4cos4=22, 点M的直角坐标为(-2,2,22),点M到Oz轴的距离为22+22=22.答案:227.在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D在原点,另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10),C16,2,10,则此长方体的外接球的体积为_.解析:由题意知长方体中的|DA|=8,|DC|=6,|DD1|=10,所以外接球的直径为10

5、2,半径为52.故所求的体积为43(52)3=1 00023.答案:1 000238.用两个平行平面去截球,在两个截面圆上有两个点,它们分别为A8,4,A,B8,34,B,求出这两个截面间的距离.解如图,由题意可知,O1O2即为两个截面间的距离.因为|OA|=|OB|=8,AOO1=4,BOO1=34,所以在AOO1中,|OO1|=|OA|cos4=42.在BOO2中,|OO2|=|OB|cos4=42.则|O1O2|=|OO1|+|OO2|=42+42=82,即两个截面间的距离为82.9.在直三棱柱ABC - A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,BCA=90,棱|AA1|=2,M是A1B

6、1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.解建立如图所示的坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC - A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.由点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=12.故点M的直角坐标为12,12,2.由于点M在平面xCy上的射影为点N,|CN|=22,ECN=4,故点M的柱坐标为22,4,2.10.如图,在长方体OABC-DABC中,|OA|=3,|OC|=3,|OD|=2,AC与BD相交于点P,分别写出点C,B,P的柱坐标.解AOC=2,|OC|=3,点C的柱坐标为3,2,0.|O

7、B|=32+32=32,|BB|=2,AOB=4,点B的柱坐标为32,4,2.同理,点P的柱坐标为322,4,2.11.如图,在柱坐标系中,O(0,0,4),A(3,A,4),B1(3,B1,0),其中A-B1=60,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.tan3734解如图,连接O1B1,作OBO1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,AOB=60,则OAB为等边三角形.因为BB1OO1,所以BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1垂直于圆O所在的平面,所以BB1AB.在RtABB1中,tanAB1B=|AB|B1B|=34,所以AB1B37,|AB1|=|AB|2+|B1B|2=5,即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角约为37,AB1的长为5.