1、1.1平面直角坐标系与曲线方程课时过关能力提升1.已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x),且BAAC,则x的值为().A.3B.6C.7D.9解析:因为BA=(1,-1),AC=(5,x-2),又BAAC,所以BAAC=0, 即5-(x-2)=0.所以x=7.答案:C2.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边,O为直角顶点,作等腰直角三角形OPQ,则动点Q的轨迹是().A.圆B.两条平行线C.抛物线D.双曲线解析:设Q(x,y),P(1,a),由题意,得x2+y2=12+a2,x+ay=0,a2y2+y2=12+a2.y2=1,即y=1.答案:B3.已知ABC的底
2、边BC的长为12,底边固定,顶点A是动点,且sin B-sin C=12sin A.若以底边BC(点B在点C左侧)所在直线为 x轴、底边BC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,则点A的轨迹方程是().A.x29-y227=1 B.x29-y227=1(x-3)C.x227-y29=1 D.x227-y29=1(x-3)解析:由题意知,B(-6,0),C(6,0),由sin B-sin C=12sin A,得|AC|-|AB|=12|BC|=6.所以点A的轨迹是以B(-6,0),C(6,0)为焦点,2a=6的双曲线的左支,且y0.故点A的轨迹方程为x29-y227=1(x0).因为A(4,-5)
3、在抛物线上,所以42=-2p(-5),所以p=1.6.所以x2=-3.2y.设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h m时,木船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB的端点B的坐标为(2,y1).由22=-3.2y1,得y1=-54,h=|y1|+34=-54+34=2(m),所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,木船开始不能通航.10.在ABC中,底边BC的长为12,其他两边AB和AC上的中线CE和BD的和为30,建立适当的平面直角坐标系,求此三角形重心G的轨迹方程.解以BC边所在的直线为x轴,BC边上的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0).
4、由|BD|+|CE|=30,得|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=2012, 所以重心G的轨迹是椭圆.设G(x,y),则其轨迹方程为x2a2+y2b2=1(ab0).易知a=10,c=6,由此可得b=8.因为点G不可能位于x轴上,所以x10.故重心G的轨迹方程为x2100+y264=1(x10).11.已知A,B两地都有一种大型商品出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用:每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A,B两地间的距离为10 km,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准:运费和价格的总费用较低,试建立适当的平面直角坐标系,求A,B两地的售货区域的分界线
5、的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜,并设A地的运费为3a元/km,则B地的运费为a元/km.因为P地居民购货总费用满足条件:价格+A地运费价格+B地运费,即有3a(x+5)2+y2 a(x-5)2+y2.因为a0,所以3(x+5)2+y2(x-5)2+y2,两边平方,得9(x+5)2+9y2(x-5)2+y2,即x+2542+y21542. 所以以点C-254,0为圆心,1
6、54为半径的圆是A,B两地售货区域的分界线,圆C内的居民从A地购货,圆C外的居民从B地购货,圆C上的居民从A,B两地之一购货.12.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图所示.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100+y225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M0,647为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解(1)由题意,设曲线方程为y=ax2+647,将点D(8,0)的坐标代入,得0=a64+647.a=-17.所求曲线方程为y=-17x2+647.(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知x2100+y225=1,y=-17x2+647,联立,得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-94(舍去),于是x=6,点C的坐标为(6,4).应用两点之间的距离公式计算,得|AC|=25,|BC|=4.故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为25,4时,应向航天器发出变轨指令.
