1、第四节直接证明与间接证明A组基础题组1.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为()A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数答案D对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证b2-ac0B.a-c0C.(a-c)(a-b)0D.(a-b)(a-c)0答案Cb2-ac3ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+
2、c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.3.若P=a+6+a+7,Q=a+8+a+5(a0),则P,Q的大小关系是()A.PQB.P=QC.PQ,要证PQ,只需证P2Q2,只需证:2a+13+2(a+6)(a+7)2a+13+2(a+8)(a+5),只需证a2+13a+42a2+13a+40,即证4240,4240显然成立,所以PQ成立.4.已知函数f(x)=12x,a,b是正实数,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A,B,C的大小关系为()A.ABCB.ACBC.BCAD.CBA答案A因为a+b2ab2aba+b,又f(x)=12x在R上是减函数,所以fa+
3、b2f(ab)f2aba+b.5.设x,y,z0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2答案C假设三个数都小于2,则yx+yz+zx+zy+xz+xyb0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是.答案mn解析若a-ba,即a0,显然成立,故mcn+1解析由题意知,an=n2+1,bn=n,cn=n2+1-n=1n2+1+n.显然,cn随着n的增大而减小,cncn+1.8.关于x的方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有实根,则实数a的取值范围是.答案12,1解析当a=0时,方程无解;当a0时,令f(x)=
4、ax+a-1,则f(x)在区间(0,1)上是单调函数,依题意得f(0)f(1)0,所以(a-1)(2a-1)0,所以12a1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.解析(1)由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当n=1时也适合.所以数列an的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mN*,且mn,所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.B组提升题组1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(
5、x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+ f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x20,可知x1-x2,则f(x1) f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0,则实数p的取值范围是.答案-3,32解析由题意可得只需f(-1)0或f(1)0即可,由f(1)0,得2p2+3p-90,即-3p0,得2p2-p-10,即-12p1.故所求实数p的取值范围是-3p32.3.已知数列an满足a1=12,且an+1=an3an+1(nN*).(1)
6、证明:数列1an是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)设bn=anan+1(nN*),数列bn的前n项和记为Tn,证明:Tn0,所以Tn0)的图象与x轴有两个不同的交点,当f(c)=0,且0x0.(1)证明:1a是f(x)=0的一个根;(2)试比较1a与c的大小;(3)证明:-2b-1.解析(1)证明:f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,f(x)=0有两个不等实根,设为x1,x2,f(c)=0,x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=ca,x2=1a1ac,1a是f(x)=0的一个根.(2)假设1a0,由0x0,知f1a0与f1a=0矛盾,1ac,又1ac,1ac.(3)证明:由f(c)=0,得ac+b+1=0,b=-1-ac.又a0,c0,bc,x2x1,x1+x22x2+x22=x2=1a,即-b2a0,b-2,-2b-1.
