1、第2课时等比数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来2理解等比数列的性质及应用(重点)3掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点)1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养2通过学习等比中项的概念提升数学运算的素养.1等比数列的单调性阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题对于等比数列an，通项公式ana1qn1qn.根据指数函数的单调性，可分析当q0时的单调性如下表：a1a10a10q的范围0q1q1q10q1q1q1an的单调性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列思考：(1)若等比数列an中，a1，q，则数列an
2、的单调性如何？提示递减数列(2)等比数列an中，若公比q0，则数列an的单调性如何？提示数列an不具有单调性，是摆动数列2等比中项阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列(2)结论：G叫作a，b的等比中项(3)满足关系式：G2ab思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？提示不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？提示不唯一，如2和8的等比中项是4或4.1已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于(
3、)AB2C2DD由a5a2q3，得q3，所以q，故选D2将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，则此数列是()A公比为q的等比数列B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列D不一定是等比数列B由于qqq2，n2且nN，所以anan1是以q2为公比的等比数列，故选B3等比数列an中，若a12，且an是递增数列，则数列an的公比q的取值范围是_(1，)因为a120，要使an是递增数列，则需公比q1.442与42的等比中项是_2或2由题意知42与42的等比中项为2.等比中项及应用【例1】(1)设x,2x2,3x3成等比数列，则x_.(2)设a，b，c是
4、实数，若a，b，c成等比数列，且，成等差数列，则的值为_(1)4(2)2(1)由题意得(2x2)2x(3x3)，x25x40，解得x1或x4，当x1时，2x20，不符合题意，舍去，所以x4.(2)由a，b，c成等比数列，成等差数列，得即2，故(ac)20，则ac，所以112.应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2ab，其中a，b，G均不为零(2)已知等比数列中的相邻三项an1，an，an1，则an是an1与an1的等比中项，即aan1an1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程1(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是()A1或
5、B1或C1或D1或(2)已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.(1)D(2)4n1(1)由题意得，a2b2(ab)21，2，所以或因此的值为1或.(2)由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4n1.等比数列的设法与求解【例2】已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积是80，则这四个数为_1，2,4,10或，2，5，8由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b38，解得b2，q与a可通过解方程组求出，即为或所以此四个数为1，2,4,10或，2，5，8.灵活设项求解等比数列的技巧(1)三个
6、数成等比数列设为，a，aq.(2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.2已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为，则这三个数依次为_，1，设这三个数分别为，a，aq，则解得a1，q，所以这三个数依次为，1，.等比数列的性质及应用探究问题1在等差数列an中，anam(nm)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？提示anamqnm.2在等差数列an中，由2a2a1a3,2a3a2a4，我们推广得到若2pmn，则2apaman，若an是等比数列，我们能得到什么类
7、似的结论提示若2pmn，则aaman.3在等差数列an中，若mnpq，则amanapaq，类比这个性质，若an是等比数列，有哪个结论成立？提示若mnpq，则amanapaq.【例3】(1)在等比数列an中，an0，若a3a54，则a1a2a3a4a5a6a7_.(2)设an为公比q1的等比数列，若a2 018和a2 019是方程4x28x30的两根，则a2 030a2 031_.(3)在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比q为整数，则an_.思路探究：利用等比数列的性质求解(1)128(2)2312(3)(2)n1(1)a3a5a4，又an0，所以a42，a1a2a3a4
8、a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4aaaa4a27128.(2)解方程4x28x30得x1，x2，因为q1，故a2 019，a2 018，故q3，a2 030a2 031a2 018q12a2 019q12(a2 018a2 019)q122312.(3)在等比数列an中，由a4a7512得a3a8512，又a3a8124，解得a34，a8128或a3128，a84，因为公比q为整数，所以q2，故an4(2)n3(2)n1.1(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a4a72，a5a68”，求a1a10.解因为an是等比数列，所以a5a6a4a78，又a4a72，解得
9、a44，a72或a42，a74，当a44，a72时，q3，a1a10a7q37，当a42，a74时，q32，a1a10a7q37.故a1a107.2(变结论)例3(3)题的条件不变，求log4|a2|log4|a3|log4|a8|log4|a9|.解因为a4a7512，所以a2a9a3a8512，故log4|a2|log4|a3|log4|a8|log4|a9|log4(|a2a9|a3a8|)log45122log2299.等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：anamqnm(m，nN)性质2：若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.特别的，若k2m(m，
10、k，N)，则akaa.性质3：若an，bn(项数相同)是等比数列，则bn，a，anbn，仍是等比数列性质4：在等比数列an中，序号成等差数列的项仍成等比数列性质5：或an递增；或an递减；q1an为常数列；q0an为摆动数列1解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列1，2，4，8，16是递减数列()(2)等比数列an中，a11，q0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，|an|，
11、是递增数列()(3)若G是a，b的等比中项，则G2ab，反之也成立()答案(1)(2)(3)提示(1)正确；(2)不正确，如a12，q，则|an|2是递减数列；(3)不正确，当G是a，b的等比中项时，G2ab成立，但当G2ab时，G不一定是a，b的等比中项，如Gab0.2在等比数列an中，a46，则a2a6的值为()A4B8C36D32C因为an是等比数列，所以a2a6a36.3在等比数列an中，a8883，a89181，则公比q_.3因为a891a888q891888a888q3，所以q327.所以q3.4在等比数列an中，a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解在等比数列an中，由a3a4a5a8，得a42，又因为a2a6a3a5a，所以a2a3a4a5a6a2532.
