1、加课练(6)圆锥曲线的性质A组基础题组1.(2018安徽合肥二检)下列双曲线中,渐近线方程不是y=34x的是() A.x2144-y281=1B.y218-x232=1C.y29-x216=1D.x24-y23=1答案D对于A,渐近线方程为y=912x=34x;对于B,渐近线方程为y=1832x=34x;对于C,渐近线方程为y=34x;对于D,渐近线方程为y=32x.故选D.2.(2018福建龙岩质检)若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且ABx轴,|AB|=42,则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.1B.2C.3D.5答案A由|AB|=42及ABx轴可设点A的纵坐标为22,代入y
2、2=4x得点A的横坐标为2,从而直线AB的方程为x=2.又y2=4x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2-1=1,故选A.3.(2018成都第一次诊断性检测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0),矩形ABCD的顶点A,B分别为双曲线E的左、右焦点,且点C,D在双曲线E上,若|AB|=6,|BC|=52,则双曲线E的离心率为()A.2B.32C.52D.5答案B根据|AB|=6可知c=3,又|BC|=52,所以b2a=52,b2=52a,c2=a2+52a=9,得a=2(舍负),所以e=ca=32.4.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线
3、x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是.答案2解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为|bc|b2+(-a)2=32c,b=32c,b2=34c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=ca=2.5.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=.答案12解析易知,焦点F为(4,0),设A(x1,y1),B(x2,y2)(A在B上方),根据焦半径公式|AF|=x1+p2=x1+4=6,所以x1=2,y1=42,所以直线AB
4、的斜率k=422-4=-22,所以直线方程为y=-22(x-4),与抛物线方程联立得x2-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,所以x2=8,故|BF|=8+4=12.6.(2018益阳、湘潭调研)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若AB=3FA,则此双曲线的离心率为.答案43解析F(-c,0),记A(0,b),则直线AF:y=bcx+b.根据题意知,直线AF与渐近线y=bax相交,联立得y=bcx+b,y=bax,消去x得,yB=bcc-a.由AB=3FA,得yB=4b
5、,所以bcc-a=4b,化简得3c=4a,离心率e=43.7.(2018湖北武汉调研)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2a2+y2=1(a1,aR)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.(1)若FAB的面积的最大值为1,求a的值;(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-13,求椭圆C的离心率.解析(1)SFAB=12|OF|yA-yB|OF|=a2-1,因为FAB的面积的最大值为1,所以a2-1=1,所以a=2.(2)由题意可设A(x0,y0),B(-x0,-y0),M(x,y),xx0,则x2a2+y2=1,x02a2+y02=1,kMAkMB=y-y0x-x0y+y0x+
6、x0=y2-y02x2-x02=1-x2a2-1-x02a2x2-x02=-1a2(x2-x02)x2-x02=-1a2=-13,所以a2=3,所以a=3,所以c=a2-b2=2,所以椭圆的离心率e=ca=23=63.8.(2018石家庄模拟)设A,B为曲线C:y=x22上两点,A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,则x1x2,y1=x122,y2=x222,因为x1+x2=2,所以直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x122-x2
7、22x1-x2=x1+x22=1.(2)由y=x22,得y=x.设M(x3,y3),由题设知x3=1,于是M1,12.设直线AB的方程为y=x+m(m0),故线段AB的中点为N(1,1+m),|MN|=m+12.将y=x+m代入y=x22得x2-2x-2m=0.由=4+8m0,得m-12,x1,2=11+2m.从而|AB|=2|x1-x2|=22(1+2m).由题设知|AB|=2|MN|,即22(1+2m)=2m+12,解得m=72(舍负).所以直线AB的方程为y=x+72.B组提升题组1.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,MC,以M为圆心的圆M与准线l相切于点Q,Q点的纵
8、坐标为3p,E(5,0)是圆M与x轴不同于F的另一个交点,则p=() A.1B.2C.3D.4答案B如图,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点Fp2,0,由Q点的纵坐标为3p知M点的纵坐标为3p,则M点的横坐标x=3p2,即M3p2,3p.由题意知点M是线段EF的垂直平分线上的点,3p2=5-p22+p2,解得p=2.故选B.2.如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为.答案102解析如图1所示,过点E作EHAB,垂足为H,因为E是母线
9、PB的中点,圆锥的底面半径和高均为2,所以|OH|=|EH|=1,|OE|=2.在平面CED内建立平面直角坐标系,如图2所示,设抛物线的方程为y2=2px(p0),F为抛物线的焦点,C(2,2),所以4=22p,p=2,F22,0,即F为OE的中点,所以该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为|PE|2+|EF|2=(2)2+222=102.3.已知点M22,232在椭圆G:x2a2+y2b2=1(ab0)上,且点M到两焦点距离之和为43.(1)求椭圆G的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求PAB的面积.解析(1)因为2a=43,所
10、以a=23.又点M22,233在椭圆G上,所以23+43b2=1,解得b2=4.所以椭圆G的方程为x212+y24=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,由y=x+m,x212+y24=1,得4x2+6mx+3m2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),AB的中点为E(x0,y0),则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4.因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PEAB.所以PE的斜率k=2-m4-3+3m4=-1,解得m=2.此时方程为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,所以|AB|=1+12|x1-x2|=32.此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-3-2+2|2=322,所以PAB的面积S=12|AB|d=92.
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