1、第18讲同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲要求考情分析命题趋势1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.2016全国卷，52016四川卷，112015重庆卷，9利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换；解决三角形内的相关问题.分值：45分1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_sin2cos21_.(2)商数关系：_tan _.2三角函数的诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)_cos_，tan(2k)tan ，其中kZ.公式二：sin()_sin_，cos()
2、_cos_，tan()_tan_.公式三：sin()_sin_，cos()_cos_，tan()_tan_.公式四：sin()sin ，cos()_cos_，tan()tan .公式五：sin_cos_，cos_sin_.公式六：sin_cos_，cos_sin_.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)120角的正弦值是，余弦值是.()(2)同角三角函数关系式中的角是任意角()(3)六组诱导公式中的角可以是任意角()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与的大小无关()解析(1)错误sin 120sin(18060)sin 60，cos 120cos(18060)cos
3、60.(2)错误在tan 中k，kZ.(3)错误对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于正切的诱导公式k，kZ.(4)正确诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角都看成锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关. 2tan 330(D)ABCD解析tan 330tan(36030)tan(30)tan 30.3(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2(A)ABCD解析将sin cos 的两边进行平方，得sin22sin cos cos2，即sin 2.故选A4若tan 2，则的值为(C)ABCD解析.5cossin_.解析cossincossincossincossin.一同角三
4、角函数关系及其应用同角三角函数关系在解题中的应用(1)利用方程思想，对于sin ，cos ，tan ，由公式sin2cos21，tan ，可以“知一求二”(2)利用方程思想，对于sin cos ，sin cos ，由下面三个关系式(sin cos )212sin cos ，(sin cos )2(sin cos )22，可以“知一求二”(3)sin ，cos 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ，cos 的齐次式，或含有sin2，cos2及sin cos 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2cos21”代换后转化为“切”求解【例1】 (1)若sin ，且为第四象
5、限角，则tan (D)ABCD(2)sin21sin22sin289_.解析(1)因为是第四象限角，且sin ，所以可在的终边上取一点P(12，5)，则tan .(2)原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244).【例2】 (1)已知tan 2，求值：；4sin23sin cos 5cos2.(2)已知(0，)，且sin cos ，求sin cos 的值解析(1)1.4sin23sin cos 5cos21.(2)sin cos ，(sin cos )212sin c
6、os ，sin cos 0cos ，sin cos 0.由(sin cos )212sin cos 1，得sin cos .二诱导公式及应用(1)学会诱导公式的逆用，如sin sin()，cos cos()等，再如ysinsin，将ysin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号(2)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍，如，.【例3】 (1)计算：2sincos 12tan_1_.(2)已知cos，则sin_.(3)已知f(x)，则f_1_.解析(1)原式2sincos 0tan2sin1tan2sin112sin1.(2)因为，所以sinsinsincos.(3)因
7、为f(x)tan2x，所以ftan2tan2tan2tan21.【例4】 (1)已知cos 是方程3x2x20的根，且是第三象限角，求的值(2)已知sina(a1，a0)，求costan的值解析(1)方程3x2x20的根为x11，x2，由题知cos ，sin ，tan .原式tan2.(2)costancostansina.1若点(16，tan )在函数ylog2x的图象上，则(D)A2B4C6D8解析由题意知tan log2164，所以2tan 8.故选D2给出下列各函数值：sin(1 000)；cos(2 200)；tan(10)；.其中是负数的是(C)ABCD解析sin(1 000)si
8、n 800，cos(2 200)cos(40)cos 400，tan(10)tan 100，tan0.3若cos()，且，则sin()(B)ABCD解析cos()cos ，cos .又，sin ，sin()sin .故选B4若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两个根，则m的值为(B)A1B1C1D1解析由题意得sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，1，解得m1.又4m216m0，解得m0或m4，m1.故选B易错点忽视隐含的平方关系错因分析：忽视含有参数的同一个角的正余弦值受到“sin2cos21”的限制【例1】 若sin ，cos ，则m满足
9、的条件是()A3m3Dm9解析 由已知得01且10，解得3m9.sin2cos21，1，解得m18，m20(舍去)故选B答案B【跟踪训练1】 求函数y(sin xa)(cos xa)(0，AB0，BA0，sin Asincos B，sin Bsincos A，cos Bsin A0，点P在第二象限故选B5设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f(A)ABC0D解析ffsinfsinsinfsinsinsinsin sinsin.6已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，则sin 的值是(C)ABCD解析由已知得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3，故sin .二、填空题7已知tan ，0.(1)求的值；(2)求sin2cos2的值解析因为sin(3)sin()sin ，lglg 10，所以sin ，即sin .又因为cos()cos 0，即cos 0，所以cos ，(1)32.(2)sin2cos2cos2sin222.