1、13两条直线的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点)2.能根据直线平行或垂直求直线方程(重点)1.通过利用直线的斜率和截距判断两直线 平行或垂直提升数学抽象素养.2.根据直线平行或垂直求直线方程提升数学运算素养.两条直线的位置关系l1l2l1l2l1、l2的倾斜角1、2间的关系12|21|90图示斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2)若l1，l2的斜率都存在，则l1l2k1k2且b1b2(如图所示)；若l1，l2的斜率都不存在，则l1l2(如图所示)或l1与l2重合若l1，l2的斜率都存在，则l1l2k1k2
2、1(如图所示)；若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1l2另一条直线的斜率为0(如图所示)思考1：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？提示：不一定只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于1吗？提示：不一定若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在1直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行B重合C相交但不垂直 D垂直D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由题意得，k1k21，故l1与l2垂直选D.2过点A(m,1)，B(
3、1，m)的直线与过点P(1,2)，Q(5,0)的直线垂直，则m_.2由题意得，直线AB的斜率存在且kABkPQ1.即1，解得m2.3与直线x2y30平行，且在y轴上的截距等于3的直线的方程为_x2y60设所求直线方程为x2yc0，令x0得y3，所以c6，因此所求直线方程为x2y60.两条直线平行与垂直的判定【例1】判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由(1)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l2：2xy20；(3)l1：x2，l2：x4；(4)l1：y3，l2：x1.解(1)将两直线方程分别化为斜截式：l1：yx，l2：yx.则k1，b1，k2，b2.k1
4、k2，b1b2，l1l2.(2)将两直线方程分别化为斜截式：l1：yx，l2：y2x2.则k1，k22.k1k21，l1l2.(3)由方程知l1x轴，l2x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1l2.(4)由方程知l1y轴，l2x轴，则l1l2.已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1k21时，l1l2；当k1k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1l2；(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直1判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系(1)l1的斜率为1，l2经过
5、点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解(1)k11，k21，k1k2，l1l2或l1与l2重合(2)k11，k21，k1k2，数形结合知，l1l2.(3)k110，k2，k1k21，l1l2.(4)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k20，则l2x轴l1l2.利用平行、垂直关系求直线方程【例2】已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行
6、的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程解法一：(1)由l：3x4y200，得kl.设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1kl，所以l1的方程为y2(x2)，即3x4y140.(2)设过点A与l垂直的直线为l2.因为klkl21，所以kl2，故直线l2的方程为y2(x2)，即4x3y20.法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x4ym0.由点A(2,2)在直线l1上，得3242m0，解得m14，故直线l1的方程为3x4y140.(2)设l2的方程为4x3ym0.因为l2经过点A(2,2)，所以4232m0，解得m2，故l2的方程为4x3y20.过点A(x0，y0)且与直
7、线AxByC0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：(1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程.(2)与AxByC0平行或垂直的直线方程设为AxBym0或BxAym0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程.2已知直线l的方程为3x2y120，求直线l的方程，l满足：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直解(1)由l与l平行，可设l方程为3x2ym0.将点(1,3)代入上式，得m9，所求直线方程为3x2y90.(2)由l与l垂直，可设l方程为2x3yn0.将(1,3)代入上式，得n7，所求直线方程为2x3y70.平行、垂直关系的综合应用探
8、究问题1试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行提示：kAB，kCD.由于ABCD，即kABkCD，所以，所以m2.2ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，试确定m的值，使ABC是以A为直角顶点的三角形提示：因为A为直角，则ACAB，kACkAB1，即1，解得m7.【例3】已知在ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)(1)求点D的坐标；(2)试判断ABCD是否为菱形思路探究利用平行或垂直的条件建立方程求解解(1)设D(a，b)，四边形ABCD为平行四边形，kABkCD，kADkBC，D(1,6)(2)kAC1
9、，kBD1，kACkBD1，ACBD.ABCD为菱形1本例条件不变，试求ABC中平行于边AB的中位线所在直线方程解设所求中位线所在直线方程的斜率为k，AC中点为E.则kkAB，E(2,3)，由点斜式方程得：y3(x2)，即x2y80.2本例条件不变，试求ABC中BC边上的高线所在直线方程解设BC边上的高线的斜率为k，则k.又BC边上的高线过点A(1,2)，所求直线方程为y2(x1)，即x2y30.1利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论2当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC2
10、0.l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10或A1C2A2C10；l1l2A1A2B1B20.两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为1垂直1思考辨析(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴()(2)斜率相等的两条直线一定平行()(3)若k1k21，则两直线必不垂直()(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k1，k2满足k1k21.()答案(1)(2)(3)(4)2若直线2ay10与直线(3a1)xy10平行，则实数a等于_因为两直线平行，所以3a10，即a.3经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_由已知得(4)1，解得m.4求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(1，4)，与直线2x3y50平行；(2)过点A(1，4)，与直线2x3y50垂直解(1)设所求直线方程为2x3yC10，则由题意得213(4)C10，解得C110，所以所求直线方程为2x3y100.(2)设所求直线方程为3x2yC20，由题意得312(4)C20，解得C25，所以所求直线方程为3x2y50.