1、3.2 简单的三角恒等变换(二)【题型探究】类型一 三角恒等变换的综合应用【典例】1.已知 且x，y为锐角，则sin(x+y)的值是()A.1 B.-1 C.D.2.化简：_.22sin xsin ycos xcos y33，13122sin(1802)cos1 cos 2cos(90)3.(2015衡水高一检测)已知 (1)求sin 的值.(2)求 的值.120tancos().22210 ，【解题探究】1.典例1中，由 如何 求解此题？提示：两式相加得sinx+cosx=siny+cosy求解.2.典例2中，首先用什么公式化简？提示：先用诱导公式化简.3.存在怎样的关系？所求角 与已知角-
2、的关系是什 么？提示：22sin xsin ycos xcos y33，sintan 2与22tan 2sin().1tan 2 ，【解析】1.选A.两式相加得sinx+cosx=siny+cosy，所以 因为x，y为锐角，且sinx-siny0，所以xy，所以 所以sin(x+y)=1.2.原式 答案：cos sin(x)sin(y)44，x(y)xy442，所以，2(sin 2)cos(1 cos 2sin）（）222sincoscoscos.2cossin3.(1)因为 所以 1tan 22，sin2sincos22 2222sincos2tan222sincos1tan22221242
3、.151()2(2)因为 所以 所以 430sincos.255 ，所以200.cos()210 又，所以由，987 2sin()1010 ，sinsin()sin()coscos()sin 7 232425 22.1051055023.24 由得【延伸探究】1.(改变问法)若典例1中的条件不变，求tan(x-y)的值？【解析】由已知 得 相加得 且x，y均为锐角，所以 所以 22sin xsin ycos xcos y33，22224sin x2sin xsin ysin y94cos x2cos xcos ycos y9，5cos xy9，2 14sin xy9，2 14tan xy.5
4、2.(变换条件)若典例1中条件变为“cosxcosy+sinxsiny=，”，则结论如何？【解析】因为 所以 所以 122sin 2xsin 2y31cos xcos ysin xsin y2，1cos xysin 2xsin 2y2，22sin xy cos xy3，2sin xy.3【方法技巧】三角恒等变换的三个步骤【补偿训练】1.(2015孝感高一检测)=()A.-2 B.2 C.-1 D.1【解析】选D.2tan()cos 242cos()4 22tan()cos 2sin()cos 2442cos()2sin()cos()444 cos 2cos 22sin()cos()sin 2(
5、)444 cos 2cos 21.cos 2sin(2)2 2.(2015长春高一检测)已知 (1)求tanx的值.(2)求 的值.xxsin2cos0.22cos 2x2cos(x)sin x4【解析】(1)由 所以 (2)因为 所以原式 xxxsin2cos0tan2222，得，22x2tan2 242tan x.x1231tan 2 cos 2xsin(2x)2sin(x)cos(x)244，2sin(x)cos(x)sin xcos x44sin x2cos(x)sin x413111().tan x44 类型二 与三角函数性质有关的问题【典例】1.函数 的最小正周期是()A.1 B.
6、2 C.2 D.4 2.(2015吉林高一检测)已知函数 (1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间 上的最大值与最小值的和为 ，求a的值.11ysinxcosx22 2f x3sin?xcos xcos xa.6 3，2【解题探究】1.典例1中，形如y=Asin(x+)的最小正周期是什么？提示：形如y=Asin(x+)的最小正周期是 2.典例2中，为求已知函数的单调递减区间和最大、最小值，首先要将函数化为何种形式？提示：首先要将已知函数化为y=Asin(x+)+m的形式.2T.|【解析】1.选B.因为函数 所以函数的最小正周期是 11111ysinx cosxsin(2x)sin
7、 x22222 ，2T2.2.(1)因为 由 得 故函数f(x)的单调递减区间是 (kZ).31cos 2xf xsin 2xa221sin(2x)a62，32k2x2kkZ262，2kxkkZ63 ，2kk63 ，(2)因为 所以 因为函数f(x)在 上的最大值与最小值的和为 所以a=0.x63，512xsin(2x)1.66626，6 3，1113(1 a)(a)2222，【延伸探究】典例2条件不变，求图象的对称中心.【解析】由 则 对称中心为 kZ.2xkkZ6，1xkkZ212，11ka2122（，），【方法技巧】应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤【变式训练】(2015北京高考)已
8、知函数 (1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间-，0上的最小值.2xxxf x2sincos 2sin.222【解析】(1)最小正周期为2.(2)由 即 f(x)取 最小值 21 cos xf xsin x222222(sin xcos x)2222sin(x)42，3x0 x.x44442 ，得，当3x4，时21.2【补偿训练】设函数 (1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程.(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间 上的值域.2233f xsin(2x)sin xcos x.3336 3，【解析】(1)所以f(x)的最小
9、正周期为 令 得对称轴方程为 133f xsin 2xcos 2xcos 2x223133sin 2xcos 2xsin(2x)2636，2T.2 2xk(kZ)62，kx(kZ).26(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.即 当 得 所以 即函数g(x)在区间 上的值域是 3g xsin 2(x)3363 cos 2x3 3g xcos 2x3，2x2x6 333 ，时1cos 2x12，333cos 2x336，6 3，33.36，类型三 三角变换与向量交汇命题问题 角度1：三角变换与向量垂直交汇问题【典例】(2015黄石高一检测)已知向量 向量m=(2，1)，
10、n=(0，-)，且m(-n).(1)求向量 .(2)若cos(-)=，0 ，求cos(2-).OA(cossin)(0)，OAOA2105【解题探究】看到m(-n)，想到什么？提示：由m(-n)想到m(-n)=0.OAOAOA【解析】(1)因为 =(cos，sin)，所以 -n=(cos，sin+)，因为m(-n)，所以m(-n)=0，即2cos+(sin+)=0，又sin2+cos2=1，由联立解得 所以 =OAOAOAOA2 55cossin55 ，OA2 55().55，(2)因为 又因为0，所以 又因为 所以 22cos()cos.1010 ，所以7 2sin.102 ，且52 54s
11、in 22sin cos2()()555 ，243cos 22cos12155 ，3247 225 22cos(2)cos 2 cossin 2 sin().510510502 角度2：三角变换与向量模的交汇命题【典例】(2015衡水高一检测)已知向量a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，|a-b|=.(1)求cos(-)的值.(2)若 且sin=，求sin 的值.2 55022 ，513【解题探究】向量模的问题的解题思路是什么？本题中对|a-b|=如何处理？提示：遇到向量模的问题的思路是|a|2=a2，本题可将|a-b|=两边平方求解.2 552 55【解析】(1)因为|a-b|=
12、，所以a2-2ab+b2=，将向量a=(cos，sin)，b=(cos，sin)代入上式得12-2(coscos+sinsin)+12=，所以cos(-)=.(2)因为-0，所以0-x0，(1)将十字形的面积S表示为 的函数.(2)求十字形的面积最大值.222(1)S2xyx2sin coscos().422 S2sin coscos151sin 2(1cos 2)sin(2)2221tan02244242sin(2)1251S.2 ，其中，故 ，因【，所以 ，所以，最大，最大值解析】为当时为规范解答 三角函数性质的综合应用【典例】(12分)(2015中山高一检测)已知函数 (1)当m=0时，
13、求f(x)在区间 上的取值范围.(2)当 求m的值.21f x(1)sin xmsin(x)sin(x).tan x44384，3tan2f()5 ，时【审题指导】(1)要求当m=0时，f(x)在区间 上的取值范围，只需要将 化成f(x)=Asin(x+)+k的形式.(2)要求m的值，只需要利用tan=2时，f()=建立关系求解.384，2cos xf x1sin xsin x（）【规范解答】(1)当m=0时，=sin2x+sinxcosx 3分 由已知 2cos xf x(1)sin xsin x1 cos 2xsin 2x212sin(2x)124，3x84，得 4分 所以 5分 从而得f
14、(x)的值域为 6分 52x044，2sin(2x)142，120.2，(2)8分 由tan=2，得 10分 所以 11分 解得m=-2.12分 2mf xsin xsin xcos xcos 2x21 cos 2x1msin 2xcos 2x22211sin 2x1m cos 2x22，2222sin cos2tan4sin 2sincos1tan5 ，222222cossin1tan3cos 2cossin1tan5 ，31 4311m52 552，【题后悟道】1.将公式有目标的进行变形 三角恒等变换通常要与三角函数的图象和性质结合命题，解答此类问题的首要任务是正确利用公式将已知函数变形为熟悉的函数类型.如本例中最终将函数化为 1f x2sin(2x)1.242.掌握函数的图象和性质并熟练应用 要熟练掌握形如f(x)=Asin(x+)+b，f(x)=Acos(x+)+b，f(x)=Atan(x+)+b的函数的周期性、奇偶性、单调性及图象的对称性.如本例中，求 在区间 上的取 值范围.1f x2sin(2x)124384，