1、第一讲空间几何体的三视图、表面积和体积题组1三视图与直观图1.2017全国卷,7,5分某多面体的三视图如图8-1-1所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()图8-1-1A.10 B.12 C.14 D.162. 2017浙江,3,4分某几何体的三视图如图8-1-2所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()图8-1-2A.2+1B.2+3 C.32+1D.32+33.2016全国卷,7,5分文如图8-1-3是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
2、()图8-1-3A.20B.24C.28D.324.2016全国卷,10,5分文如图8-1-4,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()图8-1-4A.18+365B.54+185 C.90D.815.2015新课标全国,11,5分文圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图8-1-5所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()图8-1-5A.1B.2C.4D.86.2014新课标全国,8,5分文如图8-1-6,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()图8
3、-1-6A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥D.四棱柱7.2014新课标全国,12,5分如图8-1-7,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()图8-1-7A.62B.42 C.6D.48.2017山东,13,5分文由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图8-1-8所示,则该几何体的体积为.图8-1-89.2015天津,10,5分文一个几何体的三视图如图8-1-9所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.图8-1-9题组2空间几何体的表面积10.2014陕西,5,5分文将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所
4、得几何体的侧面积是()A.4 B.3 C.2D.11.2017全国卷,15,5分文长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.12.2013新课标全国,15,5分文已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.题组3空间几何体的体积13.2017全国卷,9,5分文已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A. B.34C.2 D.414.2016全国卷,11,5分文在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,A
5、A1=3,则V的最大值是()A.4 B.92 C.6D.32315.2015山东,7,5分在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23 B.43C.53 D.216.2014新课标全国,7,5分文正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3 B.32C.1 D.3217.2014湖北,10,5分文数学文化题算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其
6、周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227 B.258C.15750D.35511318.2017天津,11,5分文已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.19.2017江苏,6,5分文如图8-1-10,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.图8-1-1020.2016
7、全国卷,18,12分文如图8-1-11,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.()证明:G是AB的中点;()在图8-1-11中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.图8-1-1121.2016江苏,17,14分文现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图8-1-12所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2
8、 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?图8-1-1222.2015新课标全国,19,12分文如图8-1-13,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.()在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);()求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.图8-1-1323.2015安徽,19,13分文如图8-1-14,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.()求三棱
9、锥P-ABC的体积; ()证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求PMMC的值.图8-1-14A组基础题1.2018惠州市二调,10某三棱锥的三视图如图8-1-14所示,且图中的三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为()图8-1-14A.32 B.327 C.64 D.6472.2018益阳市、湘潭市高三调考,9如图8-1-15,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为图8-1-15()A.23 B.43 C.83 D.43.2018辽宁省五校联考,9一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图8-1-16所示,则该几何体的体积为()图
10、8-1-16A.36 B.48 C.64 D.724.2018广东七校联考,10某一简单几何体的三视图如图8-1-17所示,该几何体的外接球的表面积是()图8-1-17A.13B.16C.25D.275.2018洛阳市高三第一次联考,10已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为()A.823B.833 C.863 D.16236.2017长沙市五月模拟,4如图8-1-18是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图)()图8-1-18 A B C D7.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,
11、9某几何体的三视图如图8-1-19所示,则该几何体的表面积是()图8-1-19A.20+45B.12+45C.20+25D.12+25B组提升题8.2018山西省名校第一次联考,5数学文化题榫卯(snmo)是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图8-1-20所示是一种榫卯构件中榫的三视图,其表面积为()图8-1-20A.8+12 B.8+16 C. 9+12 D.9+169.2018长春市高三第一次质量监测,8数学文化题九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,
12、上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(如图8-1-21所示,网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为()图8-1-21A.4B.5C. 6D.1210.2018唐山市五校联考,12把一个皮球放入如图8-1-22所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为()图8-1-22A.103 cmB.10 cmC.102 cmD.30 cm11.2017四川省重点中学高三第二次学习情况评估,10已知三棱锥P-ABC的顶点都在同一个球面上(球O),且PA=2,P
13、B=PC=6,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O的体积的比值是()A.316B.38 C.116 D.1812.2017兰州高考实战模拟,8某几何体的三视图如图8-1-23所示,则下列说法正确的是()图8-1-23该几何体的体积为16;该几何体为正三棱锥;该几何体的表面积为32+3;该几何体外接球的表面积为3.A.B.C.D.13.2017武汉市五月模拟,15棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1,则该四面体的棱长为.14.2017云南省11校调考,16已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为28916的球面上,底面ABC是边长为3的等边三角形,则三棱锥P
14、-ABC体积的最大值为.答案1.B由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为(2+4)222=12,故选B. 2.A由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积V=13123+1312213=(2+1)cm3,故选A.3.C该几何体是圆锥与圆柱的组合体,由三视图可知圆柱底面圆的半径r=2,底面圆的周长c=2r=4,圆锥的母线长l=22+(23)2=4,圆柱的高h=4,所以该几何体的
15、表面积S表=r2+ch+12cl=4+16+8=28,故选C.4.B由三视图,知该几何体是一个斜四棱柱,所以该几何体的表面积S=236+233+2335=54+185,故选B.5.B由三视图可知,此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的,其表面积为r2+2r2+4r2+2r2=20+16,解得r=2(r=-2,舍去),故选B.6.B由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.7.C如图D 8-1-3,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为AD=(42)2+22=6,故选C.图D 8-1-38.2+2由题意知该几何体是由
16、一个长方体和两个14圆柱体构成的,其中长方体的体积V1=211=2,两个14圆柱体的体积之和V2=141212=2,所以该几何体的体积V=V1+V2=2+2.9.83由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体,圆柱的底面圆的半径为1 m,高为2 m,圆锥的底面圆的半径和高都是1 m,且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合,故该组合体的体积为2+213=83(m3).10.C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,则其侧面积S=2rh=211=2.故选C.11.14依题意,得长方体的体对角线长为32+22+12=14,记长方体的外接球的半径为R,则有2R=14,解得
17、R=142,因此球O的表面积为4R2=14.12.92设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB=12,所以OH=13R.由勾股定理,得R2=r2+OH2,又由题意得r2=,则r=1,故R2=1+(13R)2,即R2=98.由球的表面积公式,得S=4R2=92.13.B由题意,得球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12,球的半径为1,则圆柱底面圆的半径r=1-(12)2=32,故该圆柱的体积V=(32)21=34,故选B.14.B由题意可知,要使V最大,则球应与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,则球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,所以球应与直三棱
18、柱的上下底面相切,此时球的半径R=32,可求得V的最大值Vmax=43R3=43278=92.故选B.15.C如图D 8-1-4,过点D作BC的垂线,垂足为H.则由旋转体的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R=AB=1,高h1=BC=2,其体积V1=R2h1=122=2;圆锥的底面半径r=DH=1,高h2=CH=1,其体积V2=13r2h2=13121=3.故所求几何体的体积V=V1-V2=2-3=53.故选C.图D 8-1-416.C由题意可知ADBC,由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1,又AD=2sin60=
19、3,所以VA-B1DC1=13ADSB1DC1=1331223=1,故选C.17.BV275L2h=13r2h275L2=13r2,又L=2r,所以=258.故选B.18.92设正方体的棱长为a,则6a2=18,解得a=3,设该正方体外接球的半径为R,则2R=3a=3,解得R=32,所以该球的体积为43R3=43(32)3=92.19.32设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r、高为2r,所以V1V2=r22r43r3=32.20.()因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.因为PDDE=D,PD,DE平面PED,AB平面PED,所以AB
20、平面PED,又PC1平面PED,所以ABPG.又由已知,可得PA=PB,所以G是AB的中点. ()如图D 8-1-5所示,在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,则点F为点E在平面PAC内的正投影.图D 8-1-5理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,因为PAPC=P,PA,PC平面PAC,EF平面PAC,所以EF平面PAC,故点F为点E在平面PAC内的正投影.如图D 8-1-5,连接CG,因为点P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的重心.由()知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平
21、面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.21.(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3).正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3). (2)设A1B1=a m,PO1=h m
22、,则0h6,O1O=4h.如图D 8-1-6,连接O1B1.图D 8-1-6因为在RtPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以(22a)2+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3)(0h6),所以V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是单调递增函数;当23h6时,V0,V是单调递减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23 m时,仓库的容积最大.22.()平面与此长方体的交线围成的正方形EHGF如图D 8-1-7所
23、示.图D 8-1-7 ()如图D 8-1-7所示,作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,所以AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).23.()由题设AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=12ABACsin 60=32.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=13SABCPA=36. ()如图D 8-1-8,在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面P
24、AC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.图D 8-1-8由PA平面ABC,知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,BN,MN平面MBN,AC平面MBN,所以AC平面MBN,又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcosBAC=12,从而NC=AC-AN=32,由MNPA,得PMMC=ANNC=13.A组基础题1.C由三视图可知该几何体的直观图为如图D 8-1-10所示的三棱锥P-ABC,其中底面ABC是直角三角形,ABBC,PA平面ABC,BC=27,PA2+y2=102,(27)2+PA2=x2,所以xy=x102-x2-(27)2=x128-x2x2+(128
25、-x2)2=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是64.故选C.图D 8-1-10B由三视图可得三棱锥为图D 8-1-11所示的三棱锥A-PBC(放到棱长为2的正方体中),则VA-PBC=13SPBCAB=1312222=43.故选B.图D 8-1-113.B 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图D 8-1-12所示,将几何体分割为两个三棱柱,所以该几何体的体积为12344+12344=48,故选B.图D 8-1-124.C由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体,由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4,所以底面边长为22,由侧视图知该长方体的高为
26、3,设该几何体的外接球的半径为R,则2R=(22)2+(22)2+32=5,解得R=52,所以该几何体的外接球的表面积S=4R2=4254=25,故选C.5.A将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线,因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为22.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球,即球O的直径为正方体的棱长 22,则球O的体积V=43R3=823,故选A.6.A正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.7.A由三视图知该几何体是一个直三棱柱,底面是直角边分别为4,2的直角三角形,高为2,所以该几何体的表面积是(2+4+22+42)2
27、+21224=20+45,故选A.组提升题8.B由三视图知该榫是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体,其表面积S=222+222+124=8+16,故选B.9.B如图D 8-1-13,图D 8-1-13由三视图可还原得几何体ABCDEF,过E,F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN,将原几何体拆分成两个底面积为3,高为1的四棱锥和一个底面积为32,高为2的三棱柱,所以VABCDEF=2V四棱锥E-ADHG+V三棱柱EHG-FNM=21331+322=5,故选B.10.B依题意,在如图D 8-1-14四棱锥S-ABCD中,图D 8-1-14所有棱长均为20 cm,连接AC,BD交于点O,连接SO,
28、则SO=AO=BO=CO=DO=102 cm,易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10 cm,在等腰三角形OAS中,OA=OS=102 cm,AS=20 cm,所以O到SA的距离d=10 cm,同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10 cm,所以球心为四棱锥底面ABCD的中心,所以皮球的半径r=10 cm,故选B.A三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和为1226sinAPB+1226sinAPC+1266sinBPC,由于APB,APC,BPC相互之间没有影响,所以只有当上述三个角均为直角时,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,此时PA,PB,PC两两垂直,将三棱锥P-ABC放入
29、长方体中,则三棱锥P-ABC与该长方体有共同的外接球,故球O的半径r=1222+(6)2+(6)2=2,所以三棱锥P-ABC的体积与球O的体积的比值是13122664323=316.12.B 根据该几何体的三视图,可知该几何体是一个三棱锥,如图D 8-1-15所示,图D 8-1-15其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,它的另外三条棱长均为2,显然其是一个正三棱锥,正确;该几何体的体积V=1312111=16,正确;该几何体的表面积S=31211+122232=32+32,错误;该几何体外接球的直径2R=12+12+12=3,所以其外接球的表面积为4R2=3,正确.故选B.13.263将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体,设正方体的棱长为a,则正四面体ABCD的棱长为2a,正方体的体对角线长为3a,由3a=2a=233,则2a=263.14.3依题意,设球的半径为R,则有4R2=28916,R=178,ABC的外接圆半径为r=32sin60=1,球心到截面ABC的距离h=R2-r2=(178)2-12=158,因此点P到截面ABC的距离的最大值等于h+R=178+158=4,因此三棱锥P-ABC体积的最大值为1334(3)24=3.