1、第4节数系的扩充与复数的引入最新考纲核心素养考情聚焦1.通过方程的解，认识复数2.理解复数的代数表示法及其几何意义，理解两个复数相等的含义3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义1.复数的有关概念，达成数学抽象和数学运算素养2.复数的几何意义，提升直观想象和数学运算素养3.复数的四则运算，增强数学运算素养复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一，重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力，题型一般为选择题，难度较小，属于低档题1复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实
2、数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向
3、量.3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.1.(1i)22i；i；i.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)4i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)任何数的平方都不小于0.( )(2)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数( )(3)两个虚数的和还是虚数( )(4)复数的模就是复数在复平面内对应
4、向量的模( )(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A1iB1iC1i D1i解析：Dz1i.故选D.2(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：C由题意：z12i.故选C.3设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：B当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件.
5、 4(人教A版教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13i，i，2i，则点D对应的复数为_答案：35i5若复数z2i，则_.解析：z2i，(2i)(2i)63i. 答案：63i考点一复数的有关概念(自主练透)题组集训1(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0B.C1D.解析：C因为z2i2i2ii，所以|z|1，故选C.2(2016全国卷)设复数z满足zi3i，则( )A12i B12iC32i D32i解析：C复数z满足zi3i，z32i，32i，故选C.3(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a( )A3 B
6、2 C2 D3解析：A(12i)(ai)a2(12a)i，a212a，解得a3，故选A.4(2016全国卷)若z43i，则( )A1 B1C.i D.i解析：Dz43i，则i.故选D.求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解考点二复数的几何意义(自主练透)题组集训1(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )A(3,1)B(1,3)C(1，) D(，3)解析：A由复
7、数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限得解得3m1，故选A.2(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：C|zi|1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x2(y1)21.选C.3复数z(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：A因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第一象限，故选A.4已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若，(，
8、R)，则的值是_解析：由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.答案：1对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 考点三复数的代数运算(自主练透)数学运算复代数运算中的核心素养在复数的代数概念下，准确理解其运算法则至关重要在正确理解这些运算法则的基础上，准确运用其进行计算，便可迅速得到正确的数学结果题组集训1(2018全国卷)()AiB
9、iCi Di解析：D，选D.2(2019全国卷)设zi(2i)，则()A12iB12iC12i D12i解析：Dzi(2i)2i112i，12i.3(2016全国卷)若z12i，则( )A1 B1 Ci Di解析：Ci.4已知复数z，是z的共轭复数，则z_.解析：zi，故i，z.答案：复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式提醒在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1
10、i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.1(2018全国卷)(1i)(2i)()A3iB3iC3i D3i解析：D(1i)(2i)2ii23i，选D.2(2019遂宁市模拟)已知复数zai(aR)，若z4，则复数z的共轭复数( )A2i B2iC2i D2i解析：Bzai，z2a4，得a2.复数z的共轭复数2i.故选B.3(2019天津市模拟)若复数z满足1i，则其共轭复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：A由1i，得zi，i，则在复平面内对应的点的坐
11、标为，位于第一象限故选A.4(2019包头市一模)设复数z满足(1i)zi1，则|z|( )A4B1C2D3解析：B由(1i)zi1，得zi，则|z|1.故选B.5(2019上饶市模拟)设a，bR，a，则b( )A2 B1 C1 D2解析：Aai，解得b2.故选A.6(2019唐山市模拟)复数z(i是虚数单位，aR)是纯虚数，则z的虚部为( )A1 Bi C2 D2i解析：Azi是纯虚数，解得a1，则zi，z的虚部为1.故选A.7若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为()A20 B2 C4 D6解析：A因为(z1z2)i(220i)i202i，所以复数(
12、z1z2)i的实部为20.8(2017全国卷)设有下列四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为( )Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析：B设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0，故zabiaR，所以p1为真命题；对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibiR，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(
13、a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10/ a1a2，b1b2，所以p3为假命题；对于p4，若zR，即abiR，则b0，故abiaR，所以p4为真命题故选B.9(2019天津市模拟)如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则_.解析：由图形可得，A点表示的复数z1为i，B点表示的复数z2为2i，12i.答案：12i10(2019奉贤区调研)设z是复数，a(z)表示满足zn1时的最小正整数n，i是虚数单位，则a_.解析：因为i，依次代入in1，发现n4时等式第一次成立，所以aa(i)4.答案：4
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