1、高考资源网（） 您身边的高考专家 航向标学习目标1了解模拟方法估计概率的实际应用，体会几何概型的意义2会用模拟方法近似计算不规则图形的面积，能够利用几何中的方法计算概率问题，比如利用面积比、长度比、角度比等读教材自主学习1如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，而与该事件的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型2在几何概型中，事件A的概率的计算公式为P(A).3几何概型的两个特征：(1)无限性；(2)等可能性看名师疑难剖析1几何概型的特点对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事
2、件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这个区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型它具有两个特点：(1)无限性，即在一次试验中，可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的2几何概型概率求解步骤(1)利用几何概型的两个特征，判断试验属于几何概型；(2)计算试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)和构成事件A的区域长度(面积或体积)A；(3)套用公式P(A)计算结果3古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限
3、个考点一 几何概型的概念例1下面关于几何概型的说法错误的是()A几何概型也是古典概型的一种B几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D几何概型中每个结果的发生具有等可能性解析几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.答案A类题通法下列概率模型中，是几何概型的有()从区间10,10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心
4、不超过1 cm的概率()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析第1个概率模型不是几何概型，虽然区间10,10内的数有无限多个，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度第2个概率模型是几何概型，因为区间10，10和1,1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)第3个概率模型不是几何概型，因为区间10,10上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性的特征第4个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内任何一个点被投到的机会相等，故满足无限性和等可能性考点二 与长度有关的几何概型问题例
5、2在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？分析在圆上随机取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如右图，可取定B点，当另一点E取在劣弧CD上时，|BE|BC|.解记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而劣弧CD的弧长是圆周长的，所以由几何概型概率公式得P(A).所以弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.类题通法解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性.取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的
6、长度都不小于1 m的概率有多大？解如下图所示，记A剪得两段绳子长都不小于1 m，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m，事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为31(m)，故事件A发生的概率P(A).考点三 与面积有关的几何概型问题例3在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？分析石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率解记C钻到油层面，则在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结
7、果有无限个，属于几何概型事件C构成的区域面积是40平方千米，全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，则P(C)0.004.类题通法如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：P(A).甲、乙两人约定晚6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人半小时，过时即可离去求两人能会面的概率解如图，以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面当且仅当|xy|30.在平面直角坐标系xOy下，(x，y)所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，则由几何概率公
8、式得：P(A)11.答：两人能会面的概率是.考点四 与体积有关的几何概型问题例4有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率分析这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概率解判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件A，则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)0.05.类题通法如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：P(A).已知棱长为2的正方体内切球O，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？解
9、球的直径就是正方体的棱长2.球O的体积V球，正方体的体积为V238.由于在正方体内任取一点时，点的位置等可能地在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O内(事件A)的概率为P(A)1，所求概率为1.例(12分)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解.3分在AB上取ADAC，则. 7分设事件“在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC”为A，则所有可能结果的区域角度为90，事件A的区域角度为67.5，所以P(A). 12分(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分
10、警示和解题启示总结如下：(注：此处的见分层规范细解)失分警示在解答过程中，在处由于没有仔细审题，认为该几何概型与线段的长度有关，从而计算相关线段的长度，造成整个解题过程完全错误，本题只能得0分.在解答过程中，在处由于不知道如何找到计算此类概率问题的临界点，或者是在此过程中出现失误，从而导致最终计算结果错误，此题的最终得分也不超过2分.续表解题启示(1)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域的问题时，常以角的大小作为区域的度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.(2)在计算几何概型中有关量的临界点时，要特别注意计算的准确性.(四)类题练笔掌握AOB60，OA2，OB5，在线段OB
11、上任取一点C，试求：(1)AOC为钝角三角形的概率；(2)AOC为锐角三角形的概率解如图，由平面几何知识：当ADOB时，OD1；当OAAE时，OE4，BE1.(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，AOC为钝角三角形，记“AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)0.4，即AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C在线段DE上时，AOC为锐角三角形，记“AOC为锐角三角形”为事件N，则P(N)0.6，则AOC为锐角三角形的概率为0.6.(五)解题设问这个概率问题是几何概型还是古典概型？_.答案几何概型1如右图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是()A. B.C.
12、D.答案C解析符合面积型几何概型问题2在数轴上的区间0,3上任取一点，则此点坐标大于1的概率为()A. B. C. D.答案B解析符合长度型几何概型问题3一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是()A. B. C. D.答案C解析到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是3054580，所以P(A).4欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿卖油翁的技巧让人叹为观止若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率是_(油滴的大小忽略不计)答案解析因为S正方形1 cm2，S圆2(cm2)，所以P.5在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解记D取出10毫升含有麦锈病的种子，则P(D)0.01.- 9 - 版权所有高考资源网
