1、12015山西质监已知动点Q与两定点(，0)，(，0)连线的斜率的乘积为，点Q形成的轨迹为M.(1)求轨迹M的方程；(2)过点P(2,0)的直线l交M于A，B两点，且3，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值解(1)设Q(x，y)，则(x)，化简得轨迹M的方程为y21(x)(2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程得(m22)y24my20，8(m22)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.由3得，y23y1.由可得m24.经检验，满足0.不妨取m
2、2，设直线CD的方程为x2yn，代入椭圆方程得6y24nyn220，8(6n2)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3y4n，y3y4，又由已知及0，可得2n20)的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x2)2y21的两条切线，切点为M，N，|MN|. (1)求抛物线E的方程；(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且(其中O为坐标原点)求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值解(1)由已知得K，C(2,0)设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|.于是|CR|，所以|CK|3，即23，p
3、2，故抛物线E的方程为y24x.(2)证明：设直线AB的方程为xmyt，A、B，联立得y24my4t0，则y1y24m，y1y24t.由得：y1y2y1y218或y1y22(舍去)，即4t18t，所以直线AB过定点Q；由得|AB|y2y1|，同理得，|GD|y2y1|，则四边形AGBD面积S|AB|GD|4令m2(2)，则S4是关于的增函数，故Smin88.当且仅当m1时取到最小值88.32015黄冈中学八校联考如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点(1)写出抛物线C2的标准方程；(
4、2)求证：以AB为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值解(1)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由F(1,0)，得p2，C2：y24x.(2)可设AB：x4ny，联立y24x，得y24ny160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y216，x1x216，x1x2y1y20，即以AB为直径的圆过原点(3)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，得n1，又tb0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交
5、于A，B两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12，所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD.此时，213.故
6、存在常数1，使得为定值3.52015贵阳监测已知椭圆C的两个焦点是(0，)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由题意得c，2a4，a2，b2a2c21，椭圆C的标准方程为x21.右顶点F的坐标为(1,0)设抛物线E的标准方程为y22px(p0)，1,2p4，抛物线E的标准方程为y24x.(2)设l1的方程：yk(x1)，l2的方程：y(x1)，A
7、(x1，y1)、B(x2，y2)、G(x3，y3)、H(x4，y4)由消去y得：k2x2(2k24)xk20，4k416k2164k40，x1x22，x1x21.同理x3x44k22，x3x41，()()|x11|x21|x31|x41|(x1x2x1x21)(x3x4x3x41)84k28216，当且仅当4k2，即k1时，有最小值16.62015贵州八校联考(二)过椭圆1的右焦点F作斜率k1的直线交椭圆于A，B两点，且与a(1，)共线(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上任意一点，且mn(m，nR)，证明：m2n2为定值解(1)设AB：yxc，直线AB交椭圆于两点，A(x1，y1)，B(x
8、2，y2)b2x2a2(xc)2a2b2，(b2a2)x22a2cxa2c2a2b20x1x2，x1x2，(x1x2，y1y2)与a共线，3(y1y2)(x1x2)0，3(x1cx2c)(x1x2)0，即x1x2，a23b2，c，e.(2)证明：a23b2，椭圆方程为x23y23b2，设M(x，y)为椭圆上任意一点，(x，y)，mn，(x，y)(mx1nx2，my1ny2)，点M(x，y)在椭圆上，(mx1nx2)23(my1ny2)23b2，即m2(x3y)n2(x3y)2mn(x1x23y1y2)3b2.x1x2，a2c2，b2c2，x1x2c2，x1x23y1y2x1x23(x1c)(x2c)4x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，将x3y3b2，x3y3b2代入得3b2m23b2n23b2，即m2n21.