1、四川省万源市第三中学校高2013届模拟考试数 学 试 题（理）04 一、选择题：本试卷共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合,则( ) 2. 右图是计算某班50人的身高平均数程序框图，空白处应该填（ ）3.已知函数，下面结论错误的是（ ）A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数4.已知为实数，且，则 是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则( )A. B.
2、 C .0 D. 4 6.一几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是全等图形，则这个几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 7.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D. 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 9.3位男生和3位女生共6位
3、同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 10.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0 B. C.1 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上11.计算： .12.的展开式的常数项是 （用数字作答）. 13.若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 . 14.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 。 15设是已知平面上所有向量的集合，对于映射 a，
4、记a的象为f(a).若映射满足：对所有a,b及任意实数都有f(ab)=f(a)f(b)，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则f(0)=0；对a，设f(a)=2a，则是平面上的线性变换；若e平面上的单位向量，对a，设f(a)=a-e，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，a,b，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且.（I）求的值；（II）若，求的值.17.（本小题满分12分）为振兴旅游
5、业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡.（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望.18.（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，.（I）求证：平面；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一
6、点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的余弦值.19（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为.（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。20. （本小题满分13分）已知且，函数.（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）若，求的最小值；（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值. 21. （本小题满分14分）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数
7、都有；（III）设数列的前项和为，已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值.四川省万源市第三中学校高2013届模拟考试数 学 试 题（理）04参考答案及评分标准一、选择题： CADBC AADBA二、填空题：（11）（12） -20 （13）4 （14） （15）三、解答题（16）解：（）、为锐角，.又， ， 6分（）由（）知，. 由正弦定理得，即， ，12分（17）解：（）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，
8、1人持金卡，1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.6分（）的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， 所以的分布列为0123 所以. 12分 （18） () 证：因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ，E ( 0, 0, 1 )， C ( 1, 1, 0 ).因为FA=
9、FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. 4分 ()存在点M,当M为AE中点时,PM平面BCE. ，. 从而,于是. 所以PMFE,又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PM平面BCE. 8分()设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.,且，取，则，从而，取平面的一个法向量为，.故二面角FBDA的余弦为.12分（19）解：（）由条件有且，解得，所以，所求椭圆的方程为.4分（）由（）知. 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为. 将代入椭圆方程得.不妨设，与题设矛盾.
10、直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k，则直线的方程为.设，联立，消y得.由根与系数的关系知，从而，又，.化简得，解得 或者，所求直线的方程为或者 12分（20）解：（）由题意知，当时，的定义域是；当时，的定义域是.当时，因为，故，所以是减函数.当时，因为，故，所以是减函数4分 （）因为，所以，由函数定义域知，因为n是正整数，故0a1.所以数列是递减数列，的最小值为.7分（），所以，令，即，由题意应有，即，当时，有实根，在点左右两侧均有故无极值.当时，有两个实根.当x变化时，的变化情况如下表所示：+0_0+极大值极小值的极大值为，的极小值为.当时，在定义域内有一个实根， ，同上可得的极大值为.综上所述，时，函数有极值.当时的极大值为，的极小值为；当时，的极大值为.13分（21）解：（）当时，又 ，即.数列成等比数列，其首项，公比是.3分（）由（）知，.又，当时，.当时，7分（）由（）知.一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设，则 ，即对一切大于1的奇数n恒成立 .，否则只对满足的正奇数n成立，矛盾.另一方面，当时，对一切的正整数n都有.事实上，对任意的正整数k，有当n为偶数时，设，则当n为奇数时，设则对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为414分注：此题是把2009年四川高考数学试题改编成四川2013届模拟试题，增加了新课标内容，去掉了新课标不要求的内容。