1、3弧度制, )1问题导航(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？(2)“2 rad”的角终边在第几象限？(3)30的角化为弧度是多少？120是30的几倍？其弧度数是多少？2例题导读P10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并注意，不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面试一试：教材P12习题13 T1你会吗？P10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并注意，“度”的单位“”不能省略试一试：教材P12习题13 T2你会吗？1度量角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(2)单位圆半径为1的圆称为单位圆(3)弧度制当半径不同时
2、，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad，读作弧度这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制2弧度数与弧长公式(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0(2)公式：如图所示，l、r、分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数弧度数公式：|；弧长公式：l|r；这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积3角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.0
3、17_45 rad1 rad57.305718(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系角度数0153045607590120135150弧度数0角度数180210225240270300315330360弧度数24.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式ll|r扇形面积公式SSr2lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，是圆心角的弧度数，l是弧长显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应用也就更加方便注意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”为单位，则应该先化成弧度后再计算1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1
4、)1弧度指的是1度的角()(2)周角的大小是2.()(3)弧长为，半径为2的扇形的圆心角是直角()解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角(2)正确周角的大小是2.(3)正确若弧长为，半径为2，则|，故其圆心角是直角答案：(1)(2)(3)2下列转化结果错误的是()A60化成弧度是 B化成度是600C150化成弧度是 D.化成度是15解析：选C.对于A，6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.3已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角(02)的弧度数为_解析：|2.答案：24若扇形的圆心角为60，半径为1，则扇形的弧长l_，面积S_解析
5、：因为60，r1，所以l|r，Srl1.答案：1对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示(3)表示角时就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样， rad的角表示：长度等于半径的倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与比较大小时，有时需要把化为小数2对弧度数计算公式的说明我们常用来求解圆中圆心角所对弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角
6、，所以常常根据需要在角上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|.3角度与弧度的区别与联系区别(1)定义不同，大小不同(2)单位不同(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用4.角度制与弧度制换算时应注意的四个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，如果以度()为单位表示角的大小时，度()不能省略不写(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度(3)有些角的弧度数是
7、的整数倍时，如无特别要求，不必把化成小数(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆5角度制与弧度制换算的要点角度与弧度的互化(1)把11230化为弧度；(2)将 rad化为度(链接教材P10例1、例2)解(1)因为1 rad，所以11230112.5112.5.(2)因为1 rad，所以75.方法归纳(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 rad180是关键由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用，应熟记(3)在同一个角的表达式中，角度和弧度不能混合使用1(1)690化为弧度是()A BC D(2
8、)18_ rad；6730_ rad； rad_度；2 rad_度(保留一位小数)解析：(1)因为1 rad，所以690690.(2)1818 rad rad；673067.567.5 rad rad； rad54；2 rad57.32114.6.答案：(1)C(2)54114.6用弧度表示终边相同的角(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？(2)若4，0，且与(1)中的终边相同，求.(链接教材P12习题13T7)解(1)1 4808102(5)，其中02，因为是第四象限角，所以1 480是第四象限角(2)由题意知：2k2k(kZ)，又因为4，0，所以令k1，
9、2得，1，2.本例(1)中的条件“1 480”若换为“855”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：因为855855 rad6，所以855与的终边相同又因为是第三象限角，所以855是第三象限角方法归纳(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应(2)用弧度制表示终边相同角2k(kZ)时，注意2k是的偶数倍，而不是的奇数倍2(1)与660角终边相同的最小正角是_(用弧度制表示)(2)将下列各角化成2k(00，la2r0，所以0r.所以当r时，Smax.此时，la2，所以|
10、2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积取得最大值.感悟提高分析题目所给的有关信息，以扇形的有关知识为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题运用二次函数求最值，可更快地解决问题172的弧度数是()A BC D解析：选B.7272.2化为角度为_解析：345.答案：3453在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_弧度，扇形面积是_解析：| rad，Slr12848.答案：48A.基础达标1630化为弧度为()A BC D解析：选A.630630.2若3，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.因为3357.30171.9，所以的终边在
11、第三象限3与角终边相同的角是()A.B2k(kZ)C2k(kZ)D(2k1)(kZ)解析：选C.选项A中2，与角终边相同，故A错；2k，kZ，当k1时，得0，2)之间的角为，故与有相同的终边，B错；2k，kZ，当k2时，得0，2)之间的角为，与有相同的终边，故C对；(2k1)，kZ，当k0时，得0，2)之间的角为，故D错4已知扇形的周长是3 cm，面积是 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B1或4C4 D2或4解析：选B.设扇形的半径为r，弧长为l，则所以或故|1或4.5扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A13 B23C43 D49解析：选B.如图，设内切
12、圆半径为r，则r，所以S圆，S扇a2，所以.6在2，2内，与的终边相同的角为_解析：与终边相同的角的集合为P，令k1，2，得，.答案：，7将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是_解析：因为时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90，即分针转过的弧度数为.答案：8火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是 m，则这座大钟分针的长度为_ m.解析：因为分针20 min转过的角为，所以由lr，得r0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.答案：0.59用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014是不是这个集合的元素解：因为150，所以终边落在阴
13、影区域内角的集合为S.因为2 014214536010.又，所以2 01410S.10已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，所以l402r，所以Slr(402r)r20rr2(r10)2100.所以当半径r10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，这时，2 rad.B.能力提升1若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A. BC. D2解析：选C.如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆
14、弧长度为R的圆心角的弧度数.2集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k为偶数时，令k2n，nZ，则集合可化为，表示的范围为区域；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则集合可化为，表示的范围为区域，故选C.3若3 rad，则角的终边在第_象限，与角终边相同的角的集合可表示为_解析：由1 rad57.30.所以3 rad171.90.所以是第二象限角，与角终边相同的角的集合为|32k，kZ答案：二|32k，kZ4半径为3 cm，圆心角为120的扇形面积为_cm2.解析：因为扇形面积为Slrr2，所以S323(cm2)答案：35.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆
15、时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则tt2.解得t4，所以P，Q第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P已经运动到角4的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为4，点Q走过的弧长为44.6.(选做题)如图所示，已知一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30角，求点A走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积解：木块的翻滚过程如题图所示第一面运动时，点A的路程为，其圆心角ACA1，半径为5，弧长，所在扇形的面积为；第二面翻滚时，路程为，圆心角A1B1A2，半径为3，弧长，所在扇形的面积为；第三面翻滚时，A点在A2处不动；第四面翻滚时，点A的路程为，圆心角为A2D3A3，半径为4，弧长，所在扇形的面积为，故总路程为(cm)，所在扇形的总面积为(cm2)