1、第二讲函数的基本性质题组1函数的单调性1.2017山东,10,5分文若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2 C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x2.2016天津,6,5分文已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()A.(-,12)B.(-,12)(32,+) C.(12,32)D.(32,+)3.2016北京,4,5分文下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的
2、是()A.y=11-xB.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x4.2015陕西,9,5分文设f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数题组2函数的奇偶性与周期性5.2017天津,6,5分文已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(log2 15),b=f(log2 4.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.cbaD.cab6.2016山东,9,5分文已知函数f(x)的定义域为R.当x12时,f(x+12)=f(x-12).则f(6)=()A.-
3、2 B.-1 C.0 D.27.2015山东,8,5分文若函数f(x)=2x+12x-a是奇函数,则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(-,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+)8.2015广东,3,5分下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=1+x2B.y=x+1x C.y=2x+12xD.y=x+ex9.2015北京,3,5分文下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos x C.y=|ln x|D.y=2-x10.2014新课标全国,3,5分设函数 f(x),g(x)的定义域都为R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中
4、正确的是()A. f(x)g(x)是偶函数B. f(x)|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数11.2014辽宁,10,5分文已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=cosx,x0,12,2x-1,x(12,+),则不等式f(x-1)12的解集为()A.14,2343,74 B.-34,-1314,23 C.13,3443,74 D.-34,-1313,3412.2017全国卷,14,5分文已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.13.2016四川,14,5分已知函数f(x)是定义在R上的周
5、期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(1)=.14.2015新课标全国,13,5分若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.15.2014新课标全国,15,5分文偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则 f(-1)=.A组基础题1.2018河北武邑中学高三三调,5下列函数中,在-1,1上与函数y=cos2x2的单调性和奇偶性都相同的是()A.y=2x-2-xB.y=|x|+1 C.y=x2(x+2)D.y=-x2+22.2018江西省六校联考,4设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=log3(x+1),x0,g(x),x0
6、,则gf(-8)=()A.-1 B.-2 C.1 D.23.2018山西省45校第一次联考,8函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)为减函数,且f(-1)=1,若f(x-2)-1,则x的取值范围是()A.(-,3 B.(-,1 C.3,+)D.1,+)4.2018河北省“五个一名校联盟”高三第二次考试,7已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),若当x(-1,1)时,f(x)=lg1+x1-x,且f(2 018-a)=1,则实数a的值可以是()A.911 B.119 C.-911 D.-1195.2018湖北省百校联考,13已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x4为R上
7、的偶函数,则a=.B组提升题6.2018河南省中原名校高三第三次质量考评,12若对x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,则函数g(x)=2xx2+1+f(x)的最大值与最小值的和为()A.4 B.6 C.9 D.127.2018黑龙江省第二次月考,6已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),在区间0,32上是增函数,且函数y=f(x-3)为奇函数,则()A.f(-31)f(84)f(13) B.f(84)f(13)f(-31)C.f(13)f(84)f(-31) D.f(-31)f(13)f(84)8.2018惠州市第一次调研考试,10已知函数y=f(x)的定义域为
8、R,且满足下列三个条件:对任意的x1,x24,8,当x10恒成立;f(x+4)=-f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.abc B.bac C.acb D.cba9.2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟金卷,15设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x1,exf(x)在R上单调递增,f(x)=2-x具有M性质.对于选项B,f(x)=x2,exf(x)=exx2,exf(x)=ex(x2+2x),令ex(x2+2x)0,得x0或x-2;令ex(x2+2x)0,
9、得-2x0,函数exf(x)在(-,-2)和(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,f(x)=x2不具有M性质.对于选项C,f(x)=3-x=(13)x,则exf(x)=ex(13)x=(e3)x,e31,y=(e3)x在R上单调递减,f(x)=3-x不具有M性质.对于选项D,f(x)=cos x,exf(x)=excos x,则exf(x)=ex(cos x-sin x)0在R上不恒成立,故exf(x)=excos x在R上不是单调递增的,所以f(x)=cos x不具有M性质.2.C由f(x)是偶函数,得f(-2)=f(2),再由偶函数在对称区间上单调性相反,得f(x)在(0,+)上
10、单调递减,所以由2|a-1|2,得|a-1|12,即12alog2 4.1log2 4=220.8,且函数f(x)是增函数,cb12时,f(x+1)=f(x),所以f(6)=f(51+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2,所以f(6)=2.故选D.7.Cf(-x)=2-x+12-x-a=2x+11-a2x,由f(-x)=-f(x)得2x+11-a2x=-2x+12x-a,即1-a2x=-2x+a,化简得a(1+2x)=1+2x,所以a=1,f(x)=2x+12x-1.由f(x)3得0x12时,令f(x)=2x-112,解得12x34,故有13x34.因为f(x)是偶函
11、数,所以f(x)12的解集为-34,-1313,34,故f(x-1)12的解集为14,2343,74,故选A.12.12依题意得,f(-2)=2(-2)3+(-2)2=-12,由函数f(x)是奇函数,得f(2)=-f(-2)=12.13.-2因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(x)=-f(-x),f(x+2)=f(x),所以f(x+1)=-f(1-x),令x=0,得f(1)=-f(1),所以f(1)=0.f(-52)=f(-2-12)=f(-12)=-f(12)=-2,所以f(-52)+f(1)=-2.14.1由题意得f(x)=xln(x+a+x2)=f(-x)=-xln
12、(a+x2-x),所以a+x2+x=1a+x2-x,解得a=1.15.3因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.A组基础题1.D函数y=cos2x2在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,且函数y=cos2x2为偶函数,对于A,y=2x-2-x为奇函数;对于B,y=|x|+1为偶函数,在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增;对于C,y=x2(x+2)为非奇非偶函数;对于D,y=-x2+2在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,且函数y=-x2+
13、2为偶函数,故选D.2.A函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=log3(x+1),x0,g(x),x0,f(-8)=-f(8)=-log39=-2,gf(-8)=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.故选A.3.A函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是0,+)上的减函数,故函数f(x)在R上单调递减.又f(-1)=1,所以f(1)=-1,因此f(x-2)-1f(x-2)f(1)x-21x3,所以x的取值范围是(-,3 ,故选A.4.Af(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),又函数f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(2-x),f(2
14、+x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)为周期函数,周期为4.当x(-1,1)时,令f(x)=lg1+x1-x=1,得x=911,又f(2 018-a)=f(2-a)=f(a),a可以是911,故选A.5.-1y=x4为偶函数,y=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a为偶函数,则-a+12=0,a=-1.B组提升题6.A令x=y=0,则f(0)=2,令y=-x,则f(x)+f(-x)=4,令h(x)=g(x)-2=2xx2+1+f(x)-2,则h(-x)=g(-x)-2=-2xx2+1+f(-x)-2,所以h(x)+h(-x)=0,故h(x)是奇函数.又
15、h(x)min=g(x)min-2,h(x)max=g(x)max-2,而h(x)min=-h(x)max,所以g(x)min-2+g(x)max-2=0,即g(x)min+g(x)max=4,故选A.7.A根据题意,函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),则有f(x-6)=-f(x-3)=f(x),则函数f(x)为周期为6的周期函数.若函数y=f(x-3)为奇函数,则f(x)的图象关于点(-3,0)成中心对称,则有f(x)=-f(-6-x),又由函数的周期为6,则有f(x)=-f(-x) ,函数f(x)为奇函数.又由函数在区间0,32上是增函数,则函数f(x)在-32,32 上为增函数,f
16、(84)=f(146+0)=f(0),f(-31)=f(-1-56)=f(-1),f(13)=f(1+26)=f(1),则有f(-1)f(0)f(1),即f(-31)f(84)f(13) ,故选A.8. B由知函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数;由知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2 017)=f(2528+1)=f(1),b=f(11)=f(3);由可知函数f(x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).因为函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数,所以f(5)f(6)f(7),即bac,故选B.9.(
17、-1,0)(0,1)f(x)为奇函数,且在(0,+)上是增函数,f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,f(x)在(-,0)上也是增函数,f(x)-f(-x)x=2f(x)x0,f(x)0或x0,根据f(x)在(-,0)和(0,+)上都是增函数,且f(-1)=f(1)=0,解得x(-1,0)(0,1).10.4 034F(a)+F(c)=(a-b)f(a-b)+2 017+(c-b)f(c-b)+2 017.b是a,c的等差中项,a-b=-(c-b),令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),g(x)=xf(x)是奇函数.(a-b)f(a-b)+(c-b)f(c-b)=0,F(a)+F(c)=2 017+2 017=4 034.