2020年北京二模——二次函数综合（解析版）.docx

1、2020年北京二模二次函数综合1在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C点B的坐标为，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，并且经过点，代入求得值，且C点为抛物线与y轴交点，则C点坐标为，也经过C点，代入可求出C点坐标；（2）已知B、C两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，再根

2、据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A、E两点的坐标分别代入抛物线的解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线与线段AE有一个公共点时的范围【详解】（1）解：将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，直线经过点，则C点为抛物线与y轴交点，则C点坐标为，且经过点，代入得：，则C点坐标为（2）解：抛物线经过点和点，抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为 （3）解：点E是点D关于原点的对称点，点E的坐标为当经过点时，则，当经过点时，则，结合下面图象可知a的取值范围是【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键2在平面直角坐标系

3、中，抛物线与轴交于点（在的左侧）（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点，若抛物线与线段有公共点，请结合函数图象，求的取值范围【答案】（1），；（2），或，或【分析】（1）与x轴的交点纵坐标为0，然后计算时的x值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为求解即可；（2）由抛物线的顶点坐标和抛物线上两点分a0，a0两种情形分别求解即可解决问题【详解】解：（1），当y=0时， 抛物线与轴交于点抛物线对称轴为直线：（2），抛物线的顶点坐标为：令，得，解得，或，当时，抛物线上两点当时，抛物线开口向上，顶点位于轴下方，且位于点的右侧，如图1，当点位于点左侧时，抛物线与线段有公共点，此时，解得当时，抛物线开

4、口向下，顶点位于轴上方，点位于点的左侧，（i）如图2，当顶点位于点下方时，抛物线与线段有公共点，此时，解得（ii）如图3，当顶点位于点上方，点位于点右侧时，抛物线与线段有公共点，此时，解得综上，的取值范围是，或，或【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难3在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的顶点为C（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值【答案】（1）；（2）a的取值范围是或a=；（3）

5、【分析】（1）将B点坐标代入抛物线即可求出的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A点和B点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB有交点时的范围；（3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来越大，则的x的最大值为3，可知，当时，代入即可求出的值【详解】解：（1）依据题意，将得点B的坐标代入抛物线得：，解得此时，所以顶点C的坐标为 （2）当抛物线过时，此时，当抛物线过时，此时，当抛物线顶点在线段AB上时，a= .结合下面图象可知，a的取值范围是或a= （3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来

6、越大，则的x的最大值为3，可知，当时，不等式有最大值且最大值为0，则 ，代入得，解得则实数的值为8【点睛】本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键4在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，且抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围【答案】（1）对称轴；（2）；（3）当或时，抛物线与线段只有一个交点【分析】（1）直接根据二次函数的对称轴计算即可；（2）根据，对称轴可得， ，把代入得，则有

7、，可得C点坐标为，再根据平移，可得D纵坐标；（3）分两种情况：当和当对抛物线的图像进行讨论即可【详解】（1）抛物线的对称轴为：（2），对称轴可得， 把代入得： C点坐标为，（3）如图示，当时将点代入抛物线得：，结合函数图象，可得当时，抛物线与线段只有一个交点；如下图示，当时，抛物线的顶点为，结合函数图象，可得当时，抛物线与线段只有一个交点， ，综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键5在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax+3a与y轴交于点A(1)求点A的坐标（用含a的式子表示

8、）；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】(1)A的坐标为(0，3a)(2)抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)(3)1a0或1a3【分析】（1）计算x=0时，y=3a，即可得到点A的坐标；（2）令y0得ax24ax+3a0，解方程即可；（3）分别令抛物线过点Q（0，a2），抛物线过点P（a，0）讨论抛物线与线段PQ恰有一个公共点的情况，得到a的取值范围(1)解：抛物线yax24ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，A的坐标为（0，3a）；(2)解：当y0时即ax24

9、ax+3a0，a（x-1）（x-3）=0，解得：x11，x23，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；(3)解：当抛物线过点Q（0，a2）时，a1，P（1，0），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点当抛物线过点P（a，0）时，a1或a3（不合题意舍去），此时，Q（0，1），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当1a0或1a3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点【点睛】此题考查了抛物线的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，图象交点问题，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键6在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)（1）求点坐标；（2）横、纵坐

10、标都是整数的点叫做整点记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；如果区域内有2个整点，请求出的取值范围【答案】（1）A（a，0）；（2）4；【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；（2）画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；由推出a0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详解】解：（1）抛物线的解析式为：，可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）a=0，抛物线表达式为：，令，解得：x1=，x2=，区域内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；由可知当a=0时有4个整点，当a0时

11、，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，a0，抛物线的解析式为：，抛物线的顶点在x轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入抛物线，解得：a=（舍）或，第三个整点为（0，1），代入抛物线，解得：a=1（舍）或-1，综上：a的取值范围是：.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键7在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A，B，与y轴交于C（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点拋物线在点A

12、，B之间的部分与线段所围成的区域为图形W（不含边界）当时，求图形W内的整点个数；若图形W内有2个整数点，求m的取值范围【答案】（1）抛物线的对称轴为，；（2）1个；【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得其对称轴，再令，求出y的值，从而可得出点C坐标；（2）先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m的值，由此即可得出答案【详解】（1）抛物线的对称轴为令得：则点C坐标为；（2）当时，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点；将抛物线化为顶点式则抛物线的顶点

13、坐标为，且图象经过定点结合图象可知，若图形W内的整点有2个，则这两个整点只能是因此有两个临界点：抛物线顶点为和抛物线顶点为当抛物线顶点为时，解得当抛物线顶点为时，解得则m的取值范围为【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键8在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）点B的坐标为 （2）或【分析】（1）令x=0可求出y的值，从而得到点B的坐标；

14、把点A坐标代入求出m的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a的取值范围即可.【详解】（1）的图象与y轴交于点B，点B的坐标为 的图象与x轴交于点，将代入可得该函数的表达式为 （2）将二次函数的图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F，F的端点为A，B，并经过抛物线的顶点C（其中C点坐标为）可画F如图1所示二次函数的图象的对称轴为，且与F只有一个公共点，可分别把A，B，C的坐标代入解析式中可得三个a值分别为，3，5画示意图如图2所示结合函数图象可知：二次函数的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是或【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过

15、作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题9在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A(1，2)试说明抛物线总经过点A；(3)已知点B(0，2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围【答案】(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m=3或0m或-3m0，此时抛物线开口向上(如图1)，当0m时，抛物线与线段BC只有一个公共点；当抛物线过点C(3，2)时，将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：，此时抛物线开口向下(如图2)，当时，抛物线与线段BC只有一个公共点， 综上，m的取值范围是m=3或0m或-3m

16、0【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答10在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点（1）求c的值；（2）当时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点，若抛物线与线段有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）2；（2）顶点坐标为；（3）【分析】（1）把代入解析式可得答案；（2）把代入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过时的值，从而根据图像可得结论【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点，（2）当时，抛物线为顶点坐标为

17、 （3）当时，当时，如图1，抛物线与线段只有一个公共点当时，如图2，抛物线与线段有两个公共点结合函数图象可得当时，抛物线与线段只有一个或没有公共点综上所述，a的取值范围是【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键11在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD（1）当时，写出抛物线的对称轴；求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围【答案】（1）；（2）或【分析】（1）由

18、二次函数的对称轴方程可得出答案；根据题意求出B点坐标为（2，0），代入抛物线解析式可得出答案；（2）求出E（-，0），点D的坐标为（-，0）当b0时，得出点A的坐标为（-2b，0），点B的坐标为（b，0），则-2b-，解不等式即可；当b0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0），则0-，解出b-2【详解】解：（1）当时，化为抛物线的对称轴为直线，点D的坐标为（-1，），OD=1OB=2OD， OB=2点A，点B关于直线对称，点B在点D的右侧 点B的坐标为（，）抛物线与x轴交于点B（，）， 解得抛物线的表达式为（2）设直线与x轴交点为点E，当y=0时， E（，0）抛物线的对称轴为，点

19、D的坐标为（，）当时，OB=2OD， OB=b 点A的坐标为（，），点B的坐标为（b，）当时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得当时， OB=2OD， OB=-b抛物线与x轴交于点A，B，且A在B的左侧， 点A的坐标为（，），点B的坐标为（-b，）当0时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得b0即可求出b，问题得解；（3）把B坐标代入抛物线解析式，求出b，分b1，b=1，-1b1，b=-1，b-1，画出函数图象，即可求解【详解】解：(1)由题意得抛物线的对称轴为，点A坐标为（b，0），点B坐标为（0，3-b2）(2)把（0，2）代入中，解得b=1.b0，b=1.抛物线的表达式：；(3)当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，如图：当b1时，抛物线与线段AB无交点；当b=1时，抛物线与线段AB有一个交点；当-1b1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b-1时，抛物线与线段AB无交点若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1b1【点睛】本题考查了含参数的函数解析式，难度较大，解第（3）步关键是根据题意确定关键点取值，再结合图象分类讨论