1、1.1集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合、元素的含义及其关系.2.理解集合的表示法.3.了解集合之间的包含、相等关系.4.理解全集、空集、子集的含义.5.会求简单集合间的并集、交集.6.理解补集的含义并会求补集.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自
2、然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA知识拓展1.若有限集合A中有n个元素，则集合A的子
3、集个数为2n，真子集的个数为2n1.2.ABABAABB.3.AUA；AUAU；U(UA)A.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21.()(3)若x2,10,1，则x0,1.()(4)x|x1t|t1.()(5)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立.()(6)若ABAC，则BC.()题组二教材改编2.P11例9已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则U(AB)_.答案x|x是直角3.P44A组T5已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则A
4、B中元素的个数为_.答案2解析集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线yx，圆x2y21与直线yx相交于两点，则AB中有两个元素.题组三易错自纠4.已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m等于()A.0或 B.0或3C.1或 D.1或3或0答案B解析A1,3，B1，m，ABA，故BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，其中m1不符合题意，所以m0或m3，故选B.5.若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2答案C解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3，故集合z
5、|zxy，xA，yB中的元素个数为3，故选C.6.已知集合Ax|x22x30，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_.答案(3，)解析Ax|x22x30x|1x3，AB，Bx|x3.7.若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.答案0或解析若a0，则A，符合题意；若a0，则由题意得98a0，解得a.综上，a的值为0或.题型一集合的含义1.若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_.答案0或1解析若a33，则a0，此时集合A中含有元素3，1，4，满足题意；若2a13，则a1，此时集合A中的三个元素为4，3，3，不满足集合中元素的互异性；若a243，则a1，当a1时，集合A中的
6、三个元素为2,1，3，满足题意；当a1时，不符合题意.综上可知，a0或a1.2.设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a_.答案1解析3B，又a244，a23，a1.经检验，a1符合题意.3.若A2,3,4，Bx|xnm，m，nA，mn，则集合B中的元素个数是()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析Bx|xnm，m，nA，mn6,8,12.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.题型二集
7、合的基本关系典例 (1)(2017衢州质检)已知集合M满足1,2M1,2,3,4，则集合M的个数为()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析满足条件的集合M有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，共4个.(2)已知集合Ax|x22 019x2 0180，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_.答案2 018，)解析由x22 019x2 0180，解得1x2 018，故Ax|1x2 018.又Bx|xa，AB，如图所示，可得a2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为x|xa，其他条件不变，则实数a的取值范围是_.答案(，1解析Ax|1x2 018，Bx|xa，AB，如图所示
8、，可得a1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练 (1)已知集合AxR|x2x60，BxR|ax10，若BA，则实数a的值为()A.或 B.或C.或或0 D.或或0答案D解析由题意知，A2，3.当a0时，B，满足BA；当a0时，ax10的解为x，由BA，可得3或2，a或a.综上可知，a的值为或或0.(2)已知集合A，Bx|xm21，若AB，则实数m的取值范围是_.答案解析因为y2，
9、x，所以y.又因为AB，所以1m2，解得m或m.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算典例 (1)(2017全国)已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则()A.ABx|x1 D.AB答案A解析Bx|3x1，Bx|x0.又Ax|x1，ABx|x0，ABx|x1.故选A.(2)(2018届浙江源清中学月考)已知集合Ax|x2x20，Bx|x10，则AB等于()A.(1,1 B.(1,1)C. D.1,2答案A解析集合Ax|x2x20x|1x2，Bx|x10x|x1，ABx|1x1(1,1.命题点2利用集合的运算求参数典例 (1)设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是()A.12C.
10、a1 D.a1答案D解析因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a1.(2)设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR.若ABB，则实数a的取值范围是_.答案(，11解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此可知，0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1.综上所述，所求实数a的取值范围是(，11.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素
11、若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.跟踪训练 (1)(2017天津)设集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，则(AB)C等于()A.2 B.1,2,4C.1,2,4,6 D.xR|1x5答案B解析AB1,2,4,6.又CxR|1x5，则(AB)C1,2,4，故选B.(2)已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1xm1，且ABB，则实数m的取值范围为()A.1,2) B.1,3C.2，) D.1，)答案D解析由x2x120，得(x3)(x4)0，即3x4，所以Ax|3x4.又ABB，所以BA.当B
12、时，有m12m1，解得m2；当B时，有解得1m2.综上，m的取值范围为1，).题型四集合的新定义问题典例 若集合E(p，q，r，s)|0ps4,0qs4,0rs4且p，q，r，sN，F(t，u，v，w)|0tu4,0vw4且t，u，v，wN，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)card(F)等于()A.200 B.150C.100 D.50答案A解析在集合E中，当s1时，pqr0，此时只有1个元素；当s2时，p，q，r0,1，此时有2228(个)元素；当s3时，p，q，r0,1,2，此时有33327(个)元素；当s4时，p，q，r0,1,2,3，此时有44464(个)元素，
13、故card(E)182764100.在集合F中，(t，u)的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能.同理，(v，w)也有10种可能，故card(F)1010100，card(E)card(F)200.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算
14、与性质.跟踪训练 定义一种新的集合运算：ABx|xA，且xB.若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA等于()A.x|3x4 B.x|3x4C.x|3x4 D.x|2x4答案B解析Ax|1x0，B y|y =x，xA，则A(RB)等于()A. B.x|x1C.x|x0 D.x|0x1答案B解析当x0时，0x1，By|0y1，RBy|y1或y0，A(RB)x|x1.4.(2017温州模拟)已知集合Ax|x23x20，Bx|x1，则AB等于()A.(1,2) B.(2，)C.(1，) D.答案A解析Ax|x23x20x|1x2，Bx|x1.ABx|1x2(1,2).5.已知集合A，B
15、y|y2x，则AB等于()A.(0,4 B.(0,1)C.(0,1 D.4,1答案B解析Ax|4x0，AB(0,1)，故选B.6.已知全集UR，集合A1,2,3,4,5，BxR|x2，则图中阴影部分所表示的集合为()A.0,1 B.1C.1,2 D.0,1,2答案B解析因为AB2,3,4,5，而图中阴影部分为集合A去掉AB部分，所以阴影部分所表示的集合为1.7.已知集合M1,2,3,4，则集合Px|xM，且2xM的子集的个数为()A.8 B.4 C.3 D.2答案B解析由题意得P3,4，集合P有4个子集.8.(2017全国)设集合A1,2,4，Bx|x24xm0.若AB1，则B等于()A.1，
16、3 B.1,0 C.1,3 D.1,5答案C解析AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,3.故选C.9.若全集UR，集合Ax|x2x20，Bx|log3(2x)1，则A(UB)_.答案x|x1或x2解析集合Ax|x2x20x|x1或x2，log3(2x)1log33，02x3，1x2，Bx|1x2，UBx|x1或x2，A(UB)x|x1或x2.10.已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_.答案解析3A，m23或2m2m3.当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，当m时，m23，符合题意，m.
17、11.(2017舟山模拟)若集合Ay|ylg x，Bx|y，则集合AB_.答案0，)解析集合Ay|ylg xy|yRR，Bx|yx|x0，则集合ABx|x00，).12.已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是_.答案1，)解析由题意知，Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c).由AB，画出数轴，如图所示，得c1.13.已知集合Ax|1x3，Bx|2mx1m，若AB，则实数m的取值范围是()A. B.C.(，0 D.0，)答案D解析AB，若当2m1m，即m时，B，符合题意；若当2m1m，即m时，需满足或解得0m或，即0m.综
18、上，实数m的取值范围是0，).14.已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.15.设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个.答案6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.16.设集合M，N，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是_.答案解析由已知，可得即0m；即n1，当集合MN的长度取最小值时，M与N应分别在区间0,1的左、右两端.取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N，所以MN，此时集合MN的“长度”的最小值为.
