1、2020年二模几何综合题1如图，点为的中点，连接；点为的中点，且；点为的中点，直线与直线交于点（1）如图1，若，求的长；（2）连接并延长至点，使，连接如图2，若，求证：；如图3，当点、共线时，交于点，请直接写出的值【答案】（1）；（2）见解析；【分析】（1）如图1中，连接OE，过点E作EHCF于H解直角三角形求出EC，CH，证明CF=2CH即可（2）连接OE设CM=2a证明四边形CMGN是正方形，求出AB即可解决问题连接OE设EF交OG于J首先证明CF=OG，再证明MH=HF即可解决问题【详解】（1）解：如图1中，连接OE，过点E作EHCF于HCA=CB，ACB=90，AD=DB，CDAB，A
2、CD=BCD=45，CE=ED，CO=OB，OEBD，CEO=CDB=90，CEO是等腰直角三角形，OC=，EC=OE=1，EC=EF，EHCF，CH=HF=ECcos30=，CF=2CH=（2）证明：连接OE设CM=2aCEO=FEG=90，CEF=OEG，EC=EF=EO=EG，ECF=EFC=EOG=EGO，EFC+EFN=180，EGO+EFN=180，N+FEG=180，N=90，NGBM，N=OGB=90，CO=OB，CON=BOG，CONBOG（AAS），CN=BG=MG，CNBM，四边形CMGN是平行四边形，N=90，四边形CMGN是矩形，ECF=EGO，ECO=EGF=45，
3、NCO=FCN，N=N，CO=CF，CNOCNF（AAS），CN=NG，四边形CMGN是正方形，CN=NG=2a，ON=OG=a，CO=OB=a，BC=2a，AB=BC=2a，CM=2a，AB=CM解：连接OE设EF交OG于JCEO=FEG=90，CEF=OEG，CE=OE=EF=EG，CEFOEG（SAS），CF=OG，EFC=EGO，EGO+EJG=90，GJE=FJN，FJN+JFN=90，CFOG，OC=OB，GB=GM，OG=CM，OGCM，CMCF，M=OGB，设CF=OG=a，则CM=2a，FM=a，MCF=ACB，MCA=BCF，BCD=EGF=45，ECF=EFC=EGO=E
4、OG，BCF=BGO，HMC=HCM，HM=HC，M+CFM=90，HCM+HCF=90，HCF=HFC，HC=HF，HM=FH=a，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题2如图，在中，于点，为线段上一点(不含端点)，连接，设为的中点，作交的延长线于点（1）猜想：线段之间有何等量关系？并加以证明（2）如果将题设中的条件“为线段上一点（不含端点）”改变为“为直线上任意一点”，试探究发现线段之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明【答案】（1），见解析
5、；（2）当点在线段的延长线上时，当点在线段及的延长线上时，【分析】（1）结论：证明，推出，再证明，推出，可得结论（2）分两种情形：点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上时，分别画出图形求解即可【详解】解：（1）结论：理由：如图1中，延长到，使得，（2）如图中，当点在线段的延长线上时，理由：延长到，使得同理（1）方法可证，如图中，当等在线段的延长线上时，证明：延长到，使得，同理（1）方法可证，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，能添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键3如图，在平行四边形中，交于点，连接，点是上一点，连接（1）如图1，
6、若，求的长；（2）如图2，若，过点作，交延长线于点，延长相交于点，连接交于点，若，求证：【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用勾股定理求出，即可解决问题（2）如图2中，延长到，使得，连接，想办法证明，即可解决问题【详解】解：（1）如图1中，四边形是平行四边形，在中，；（2）证明：如图2中，延长到，使得，连接，在BCH和ECG中，【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型4【初步探索】（1）如图1：在四边中，、分别是、上的点，且，探究图中、之间的数量关系小明同
7、学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形中，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，给出证明过程【答案】（1）BAEFADEAF；（2）EAFBAEDAF；（3）EAF180DAB【分析】（1）延长FD到点G，使DGBE，连接AG，可判定ABEADG，进而得出BAEDAG，AEAG，再判定AEFAGF，可得出EAFGAFDAGDAFBAEDAF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使
8、DGBE，连接AG，先判定ABEADG，进而得出BAEDAG，AEAG，再判定AEFAGF，可得出EAFGAFDAGDAFBAEDAF；（3）在DC延长线上取一点G，使得DGBE，连接AG，先判定ADGABE，再判定AEFAGF，得出FAEFAG，最后根据FAEFAGGAE360，推导得到2FAEDAB360，即可得出结论【详解】解：（1）BAEFADEAF理由：如图1，延长FD到点G，使DGBE，连接AG， ， DGBE，ABEADG，BAEDAG，AEAG， ，DGBE， ，且AEAG，AFAF，AEFAGF，EAFGAFDAGDAFBAEDAF故答案为：BAEFADEAF；（2）仍成立，
9、理由：如图2，延长FD到点G，使DGBE，连接AG，BADF180，ADGADF180， BADG，又ABAD，ABEADG（SAS），BAEDAG，AEAG，EFBEFDDGFDGF，AFAF，AEFAGF（SSS），EAFGAFDAGDAFBAEDAF；（3）EAF180DAB证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DGBE，连接AG，ABCADC180，ABCABE180，ADCABE，又ABAD，ADGABE（SAS），AGAE，DAGBAE，EFBEFDDGFDGF，AFAF，AEFAGF（SSS），FAEFAG，FAEFAGGAE360，2FAE（GABBAE）360，2FAE（GABDAG）360，即2FAEDAB360，EAF180DAB【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形解题时注意：同角的补角相等
