1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)【知识提炼】1.两角和的余弦公式 cos(+)=_，简记为_，其中，都是_.coscos-sinsinC(+)任意角2.两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦：sin(+)=_，简记为_，其中，都是_.(2)两角差的正弦：sin(-)=_，简记为_，其中，都是_.sincos+cossinS(+)任意角sincos-cossinS(-)任意角【即时小测】1.思考下列问题(1)sin(+)=sin+sin 一定不成立吗？提示：一般情况下上面式子是不成立的，但在特殊情况下如当=0，R，或R，=0时，sin(+)=sin+sin成立.(2)S(+)与
2、S(+)有什么关系？S(-)与S(-)相等吗？在利用S(-)时需要注意什么？提示：sin(+)=sincos+cossin，sin(+)=sincos+cossin观察可得S(+)与S(+)相等.sin(-)=sincos-cossin，sin(-)=sincos-cossin，可知一般情况下sin(-)sin(-)，在利用公式时要注意做差顺序.2.计算sin40sin80-cos40cos80的值为()A.0 B.C.D.【解析】选C.sin40sin80-cos40cos80=-cos(80+40)=cos60=.321233123.设 则 等于_.【解析】因为 是第二象限内的角，根据si
3、n2+cos2=1，sin=，其中cos0可得 又根据两角和的正弦公式得 答案：3()sin25，若，sin()3()2，354cos5 ，sin()sin cossincos333131334sincos()222525 34 3.1034 3.104.cos 71sin 11-sin 71cos 11=_.【解析】cos 71sin 11-sin 71cos 11=sin(11-71)=-sin 60=.答案：32325.若 则 _.【解析】因为 所以 所以 答案：5cos()132，cos()6 5cos()132 ，22512sin1 cos1()1313，cos()cos cossi
4、n sin666 531215 312.13213226 5 31226【知识探究】知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：运用两角和的余弦公式时需要注意什么？问题2：两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗？能不能是角的组合？【总结提升】1.两角和的余弦公式的应用技巧(1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号，不能混淆，即cos(+)=cos cos-sin sin.(2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简.2.两角和的余弦公式的适用条件 公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如 中的“”相当于公式中的角，“”相当于公式中的角.
5、cos()22 2 2 知识点2 两角和与差的正弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构有何异同？问题2：在计算两角的和与差时，如何利用两角和与差的正弦公式？【总结提升】1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点(1)公式中的，均为任意角.(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例.(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”.2.两角和与差的正弦公式的一般使用方法(1)正用：把sin()，从左向右展开.(2)逆用：公式的右边化
6、简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用.(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变用；二是角的变用，也称为角的拆分变换，如=(+)-，2=(+)+(-).【题型探究】类型一 给角求值【典例】1.(2015全国卷)=()A.B.C.D.sin 20 cos 10cos 160 sin 10323212122.求下列各式的值.(1)(2)sin(x+27)cos(18-x)-sin(63-x)sin(x-18).(3)722sincossinsin.18999cos 10(tan 103).sin 50【解题探究】1.典例1中cos160如何处理？提示：利用诱导公式将c
7、os160转化为-cos20.2.(1)典例2(1)中当代数式中的结构不满足公式S()时，常借助什么工具给予变形？提示：当代数式中的结构不满足公式S()时，常借助诱导公式给予变形，之后再求值.(2)观察典例2(2)，角“27+x”与角“63-x”有什么关系？提示：角“27+x”与角“63-x”和为90.(3)典例2(3)中对tan 10如何处理？提示：采用切化弦，即tan 10=sin 10cos 10【解析】1.选D.原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=.2.(1)原式=127272sincossin()sin18921897272sincoscossin18918
8、9721sin()sin.18962(2)原式=sin(x+27)cos(18-x)-cos90-(63-x)sin(x-18)=sin(x+27)cos(x-18)-cos(x+27)sin(x-18)=sin(x+27)-(x-18)=sin45=.22(3)方法一：原式=方法二：原式=sin 10cos 10(3)cos 10sin 50sin 103cos 10cos 10cos 10sin 50132(sin 10cos 10)22sin 502sin(1060)2.sin 50 cos 10(tan 10tan 60)sin 50sin 10sin 60cos 10()cos 10
9、cos 60sin 50sin(50)cos 102.cos 10 cos 60 sin 50 【方法技巧】解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.【变式训练】的值是()A.B.C.D.【解析】选C.原式=2cos 10sin 20sin 701232322cos(3020)sin 20sin 70 2(cos 30 cos 20sin 30 sin
10、 20)sin 20sin 70(3cos 20sin 20)sin 20sin 70 3cos 203.cos 20 类型二 给值(式)求值【典例】1.(2015荆州高一检测)若 则cos(-)的值为()A.B.C.D.1 2.(2015青岛高一检测)已知 求sin2 的值.31sinsin1coscos22 ，123234312cos()2413 ，3sin()5 ，【解题探究】1.典例1中，如何将 联系起来？提示：对两式分别平方，然后相加.2.如何利用已知角表示待求角？提示：2=(-)+(+).31sinsin1coscos22 ，【解析】1.选B.因为 所以(sin-sin)2+(co
11、s-cos)2 所以2-2(coscos+sinsin)=所以coscos+sinsin=，即 cos(-)=.3sinsin12 ，1coscos2 ，2231(1)()22，23，32322.因为 所以sin2=sin(-)+(+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)330.2442 ，所以，22123cos()sin()sin()1351251 cos()1()1313 又，所以，5412356()().13513565 【延伸探究】典例2中的条件不变，如何求sin2 的值.【解析】因为 所以sin2=sin(+)-(-)=sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-
12、)330.2442 ，所以，2123cos()sin()sin()1 cos()135 ，所以21251()1313，2234cos()1 sin()1().55 3124516()().51351365 【方法技巧】给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.【变式训练】设 【解题指南】由已知角 与所求角 建立关系，可知 1cos()29 ，2sin()()(0cos.23222 ，其中，)，求2 2 ，2()().2
13、22 【解析】因为 因为 所以()(0)()(222424 2 ，所以，)，12cos()sin()2923 ，214 5sin()1 cos()122819 ，245cos()1 sin()12293 ，所以 coscos()()222 cos()cos()sin()sin()2222 154 527 5.939327【补偿训练】已知 求sin(+)的值.30444 ，335cos()sin()45413 ，【解题探究】本题中角+与已知条件中的角 如何联系起来？提示：344，3()().44 【解析】因为 因为 因为 因为 所以sin(+)=-sin+(+)34424 ，所以，34cos()
14、sin().4545 ，所以330444 ，35312sin()cos().413413 ，所以3()()44 ，3sin()()44 33sin()cos()cos()sin()4444 5312463()().13513565 类型三 给值求角【典例】1.已知 则 的值为 ()A.B.C.D.2.(2015泰安高一检测)已知 且 求：(1)cos(2-)的值.(2)的值.113coscos()07142 ，且，64312510cossin()510 ，(0).2，【解题探究】1.典例1中，如何通过-，与 建立联系？在本题中是否必不可少？提示：由题目不难发现=-(-)，从而进行求解.在本题
15、中 必不可少.因为由其可确定 ，从而确定cos(-)与sin(-)的值.02 02 02 2.典例2中，求cos(2-)和 的值的思路分别是什么？提示：(1)根据2-=-+及两角和的余弦公式求cos(2-).(2)先根据=-(-)及两角差的余弦公式求cos，然后求.【解析】1.选C.由 又因为 所以 由 得 由=-(-)，得cos=cos-(-)所以 00.22 ，得13cos()14 ，22133 3sin()1 cos()1().1414 10cos27 ，24 3sin1 cos7 ，1134 33 31cos cos()sin sin().7147142 .3 2.(1)因为 且 所以
16、 因为 所以 所以cos(2-)=cos(-)+=coscos(-)-sinsin(-)5cos5，(0 2，)，2 5sin5，(0 222，)，所以，23 10cos()1 sin()10 ，53 102 5102.51051010(2)cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)又因为 53 102 51025105102，(0.24，)，所以【方法技巧】知值求角的步骤(1)首先考虑界定角的范围，根据条件确定角的范围，有时需要根据已知条件把角度的范围缩小.(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数，如角的范围是0，时取余弦更方便些；而角
17、的范围是 时，取正弦更方便.(3)求角，结合三角函数值及角的范围求角.()2 2 ，【变式训练】且，是锐角，则 =_.【解题指南】利用同角三角函数的基本关系，求出cos=，由cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin，进而求出结果.4 311sincos()714 ，175 3sin()14 ，【解析】由 且，是锐角，求得 所以 所以 答案：4 311sincos()714 ，15 3cossin()714 ，1coscos()cos()cossin()sin2 ，.3 3【补偿训练】满足 的最小 正角A=_.【解析】由 得 所以sinAcos45-cosAsin45=si
18、n30cos10-cos30sin10，所以sin(A-45)=sin(30-10)=sin20，因为A是满足条件的最小正角，所以A-45=20，故A=65.答案：65 26sin Acos Acos 10sin 102226sin Acos Acos 10sin 102222132(sin Acos A)2(cos 10sin 10)2222 ，易错案例 两角和与差的正弦、余弦公式逆用【典例】(2015秦皇岛高一检测)已知 则 等于()A.B.C.D.4 3sin()sin35 ，2cos()3 45353545【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是两
19、角差的余弦公式和诱导公式的误用.【自我矫正】D.sin()sin3 因选为sin coscos sinsin331333sincossinsincos2222 313(sincos)3cos()223 4 34.cos()535 所以，所以24cos()cos().335 【防范措施】1.恰当选择两角和与差的正、余弦公式 形如asinx+bcosx三角函数式的化简，关键是记准特殊角的三角函数值，恰当选择并逆用公式化简为一个角的一种三角函数形式，如本例中，31sincoscos().223 2.注意与诱导公式或同角三角函数关系综合应用 三角函数式化简的思路主要从“角”“函数名”“式子结构”等角度找思路，此时要特别注意诱导公式、同角三角函数关系的应用.如本例中由 想到 233 2cos()cos().33