1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式公式cos(+)=_简记符号_使用条件，都是_coscos-sinsinC(+)任意角2.两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号_公式形式sin(+)=_sin(-)=_ _S(+)S(-)sincos+cossinsincos-cossin1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的余弦公式中角，是任意的.()(2)sin(+)=sin+sin一定不成立.()(3)sin(-)=sincos-sincos.()【解析】(1)正确.对于任意的，公式成立.(2)错误.一般情况下不成立,但在特殊情
2、况下如当=0,R,或者R，=0时，sin(+)=sin +sin 成立.(3)错误.sin()=sin cos cos sin.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)sin13cos17+cos13sin17=.(2)cos71sin11-sin71cos11=.(3)若cos=，()，则cos()=.513,2，6【解析】(1)sin 13cos 17+cos 13sin 17=sin 30=.答案：(2)cos 71sin 11-sin 71cos 11=sin(11-71)=-sin 60=.答案：12123232(3)因为cos=所以sin=所以cos(+
3、)=cos cos sin sin 答案：5,(,)132，225121 cos1,1313()666531215 312.132132265 31226知识点1 两角和的余弦公式公式cos(+)=coscos-sinsin的推导及记忆(1)推导：在公式C(-)中，将用-来代替，并且注意到cos(-)=cos，sin(-)=-sin，于是cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.(2)记忆：对于公式C(+)，可记为“余余正正，符号相反”.【微思考】(1)将公式C(-)，C(+)进行对比，两个公式有什么区别和联系？提示：两个公式的共同特点是
4、“同名相乘，符号相反”，不同点是中间的连接符号不同.(2)coscos与cos(-)及cos(+)之间有什么等式关系？提示：2coscos=cos(-)+cos(+).【即时练】(2014遵义高一检测)已知cos=，是第三象限的角，则cos(+)=_.454【解析】因为cos=，是第三象限的角，所以sin=所以cos(+)=cos cos sin sin 答案：4544422431 cos155 ()，42322.525210210知识点2 两角和与差的正弦公式1.公式sin(+)=sin cos +cos sin 的推导及记忆(1)推导：运用差角的余弦公式C(-)和诱导公式，考虑到sin(+
5、)=cos -(+)，且cos(-)=sin ,sin(-)=cos ,于是,sin(+)=cos -(+)=cos(-)-=cos(-)cos +sin(-)sin=sin cos+cos sin.(2)记忆：对于公式S(-)，S(+)可记为“正余余正，符号相同”.22222222.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系【微思考】(1)将公式S(-)，S(+)进行对比，两个公式有什么区别和联系？提示：两个公式的共同特点是“异名相乘，符号相同”，不同点是中间的连接符号不同.(2)sin()与sin()相等吗？在利用公式S()时要注意什么？提示：sin()sin().在利用公式S()时要注意作差顺
6、序.【即时练】1.(2014聊城高一检测)计算sin 44cos 14cos 44cos 76的结果等于()【解析】1.选A.sin 44cos 14cos 44cos 76 sin 44cos 14cos 44sin 14sin 30 1323A.B.C.D.23221.22.化简sin 15cos 75+cos 15sin 105=_【解析】sin 15cos 75+cos 15sin 105=sin 15cos 75+cos 15sin 75=sin(15+75)=sin 90=1.答案：1【题型示范】类型一 正用公式利用已知条件求值【典例1】(1)(2014荆州高一检测)设，为钝角，且
7、sin=cos=则+的值为()55，3 1010，35757ABCD44444 或(2)(2014济宁高一检测)=()(3)已知sin 求sin(+).sin 47sin 17 cos 30cos 173113A.B.C.D.2222330cos()44445 ，35()413 ，【解题探究】1.题(1)中，为了求角+，应计算该角的哪种三角函数值？2.题(2)中，角17，30和47有什么关系？可以想到利用哪个公式？3.题(3)中，角+与已知条件中的角 +如何联系起来？344，【探究提示】1.因为+2，所以通过计算cos(+)求+.2.47=17+30.由sin 17cos 30是“异名相乘”想
8、到利用公式S(+).3.一方面 +=+，另一方面+与+可以利用诱导公式联系起来.344，【自主解答】(1)选C.因为,为钝角，所以由sin=得 cos=由cos=得 sin=所以cos(+)=cos cos-sin sin 又因为+2，所以+=55，2252 51 sin1.55 ()3 1010，223 10101 cos1,1010()2 53 105102()().5105102 7.4 sin 47sin 17 cos 302C.cos 17sin (1730)sin 17 cos 30cos 17sin 17 cos 30cos 17 sin 30sin 17 cos 30cos 1
9、7cos 17 sin 301sin 30.cos 172 选 33,442434cos()sin().4545330.44435312sin()cos().413413 因为 ，所以 因为，所以因为 ，因为，所以3()(),44sin()sin()3sin()()4433sin()cos()cos()sin()44445312463()()().13513565 因为所以【方法技巧】条件求值问题的原则和基本思路(1)“三看”原则 一看角，注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧；二看名，恰当利用同角三角函数关系进行转换，尽量减少函数名称；三看式子的结构与特征，恰当选择公式.(2
10、)基本思路 化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值.【变式训练】求值：cos20+cos100+cos140=.【解析】原式=cos20+cos(120-20)+cos(120+20)=cos20+cos120cos20+sin120sin20+cos120 cos20-sin120sin20=cos20+2cos120cos20=cos20-cos20=0.答案：0 类型二 公式逆用、变用和综合应用【典例2】(1)化简 cos x sin x的结果是()(2)(2014徐州高一检测)ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则AB
11、C的形状为_.26A.2 2cos(x)B.2 2sin(x)33C.2 2sin(x)D.2 2cos(x)33(3)(2014邢台高一检测)已知向量a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，|a-b|=求cos()的值；若0，0，且sin=，求sin 的值.2 5.522513【解题探究】1.题(1)中，已知条件如何变形可以构造出两角和或差的正弦或余弦公式的结构？2.题(2)中，已知条件变形后可以与哪个公式联系起来？如何判断三角形的形状？3.题(3)中，向量模的坐标表示形式是什么？所求角与角，有什么关系？【探究提示】1.提出 可以构造出两角和或差的正弦或余弦公式的结构.2.把已知的不
12、等式移项后，根据两角和的余弦公式化简得到cos(A+B)大于0.然后利用诱导公式得到cos C小于0，根据余弦函数的图象可知C为钝角，所以得到三角形为钝角三角形 3.若a=x1,y1，则|a|=+.22(2)(6)2 2，2211xy.【自主解答】(1)选D.方法一：cos x sin x=2 (cos cos xsin sin x)=2 cos(+x).方法二：cos x sin x=2 (sin cos xcos sin x)=2 sin(x)=2 cos （x）=2 cos（+x）.(2)由sin Asin Bcos Acos B得cos(A+B)0，所以cos C=cos-(A+B)=
13、-cos(A+B)0，故角C为钝角所以ABC的形状为钝角三角形 答案：钝角三角形 2622333262266622263(3)因为a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，所以a-b=(cos cos,sin sin).又因为|a-b|=，所以（cos cos）2+（sin sin）2=（）2，22cos()=，解得cos()=.2 552 554535因为0 ，0，所以0，又cos（）=，所以sin()=,由sin=，得cos=.所以sin=sin()+=sin()cos+cos(）sin 22453551312134123533().51351365【延伸探究】题(2)条件改为“2s
14、in Acos B=sin C”，试判断ABC的形状.【解析】因为A+B+C=，所以sin C=sin(A+B)，又因为2sin Acos B=sin C，所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin Acos B-cos Asin B=0，所以sin(A-B)=0，又-AB，所以A-B=0，所以A=B.所以ABC是等腰三角形.【方法技巧】1.asin x+bcos x的化简步骤(1)提常数，即把asin x+bcos x提出 得到 (2)定角度，由 =1，我们不妨设 (3)化简，逆用两角和的正弦公式可得asin x+bcos x=sin(x+).22ab
15、222222abab(sin xcos x).abab222222ab()()abab222222abcos sin ab(cos sin xsin cos x).abab ，则得到22ab2.公式的功能和结论(1)公式的功能：实现将含有sin x,cos x的一次式子化简成Asin(x+)的形式，并可做进一步的探究.(2)与特殊角有关的几个结论 sin xcos x2sin(x);4sin x3cos x2sin(x)2cos().363.两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用(1)在三角形内解决问题时，三角形内角和定理、诱导公式与两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用.(2)与向量有关的问题要
16、注意向量共线、垂直和数量积坐标表示条件的应用.【变式训练】已知a=(2sin 35,2cos 35)，b=(cos 5,-sin 5)，则ab=()A.0 B.1 C.2 D.2sin 40【解析】选B.ab=2sin 35cos 5-2cos 35sin 5=2sin 30=1.【补偿训练】已知a=sin 14+cos 14,b=sin 16+cos 16,c=，则a,b,c从大到小的关系是_.【解析】a=sin 14+cos 14=sin 59,b=sin 61，c=sin 60.因为596061，所以acca.答案：bca 62222【易错误区】两角和与差的正弦、余弦公式逆用不当致误【典
17、例】(2014遵义高一检测)已知sin（+）sin，则cos（+）等于()34 35234334ABC.D.5555.【解析】选D.因为sin（+）+sin =sin cos +cos sin +sin =sin+cos+sin=sin+cos 所以cos 所以 33312323232313(sin cos)3cos()24 3.352 4()35，24cos()cos().335 【常见误区】错解 错因剖析 选A 在处，选择两角和与差的正弦、余弦公式不当，或在处，诱导公式应用出错，导致错误【防范措施】1.恰当选择两角和与差的正弦、余弦公式 形如asin x+bcos x三角函数式的化简，关键
18、是记准特殊角 的三角函数值，恰当选择并逆用公式化简为一个角的一种三 角函数形式.如本例中，31sin cos cos().223 2.注意与诱导公式或同角三角函数关系结合应用 三角函数式化简的思路主要从“角”“函数名”“式子结构”等角度找思路，此时要特别注意诱导公式、同角三角函数关系的应用.如本例中，由 22cos()cos().3333 想到【类题试解】已知cos的值是()47()sin 3sin()656 ，则2 32 344AB.CD.5555.【解析】选C.4334cos()sin 3cos sin 365225，所以，13443(cos sin)33sin()322565474sin()sin()sin().65665 ，所以，所以