1、弥勒一中2022届高二年级下学期第四次月考理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，则（ ）ABCD2已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是（ ）A86%B83%C90%D84%41614年纳皮尔在研
2、究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻若，则的值约为（ ）A1.322B1.410C1.507D1.6695如图，在中，延长至点，且，则的值为（ ）ABC1D6已知抛物线的焦点为，直线为其准线，点在抛物线上若点在直线上的射影为，且在第四象限，则直线的斜率为（ ）ABCD17在中，角，的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABC或D或8如图，网格纸上小正方形的边长为1，一个正方体被截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A8B16CD9设，
3、且，则，的大小关系是（ ）ABCD10已知函数（，）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，给出下列四个结论：的最小正周期为；的最大值为2；为奇函数其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D411已知圆，过点的直线交于，两点，当圆上的点到直线的距离最大为6时，直线的方程为（ ）AB或CD或12如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为_14已知的展开式中的系数是，则实数的取值为
4、_15已知函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为_16已知在平面四边形中，将沿对角线折起，使点到达点的位置，当时，三棱锥的外接球的体积为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和18（本小题满分12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品
5、和服务都满意的交易为80次（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望附：（其中为样本容量）0.150.100.050.0250.0102.0721.7063.8415.0246.63519（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，且，是，的交点，是的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小20（本小题满分12分）已知函数（1）若，求的单调增区间
6、；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围21（本小题满分12分）已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，短轴端点为，（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，证明：过两弦，中点的直线恒过定点请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（1）求直线的直角坐标方程和圆的普通方程；（
7、2）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点，求23（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）如果的解集不是空集，求实数的取值范围弥勒一中2022届高二年级下学期第四次月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ABDACBCBADCB【解析】1集合，故选A2设，所以，则，即，所以，故该点在第二象限，故选B3利用求加权平均数的公式解得：，故选D4由，所以，即的值约为1.322，故选A5由题意，如图，在中，延长至点，且，可知，所以，故选C6如图，由题意可得在
8、第一象限，设准线与轴的交点为，则，在中，所以，则，由抛物线的定义知，则为等边三角形，所以直线的倾斜角为30，斜率为，故选B7由题意可得：的面积为，可得，由于，所以，可得或，故选C8由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，所以几何体的体积为，故选B9由，得，且，则，故选A10根据函数（，）的部分图象，再根据五点法作图可得，根据函数的图象经过，可得，故的最小正周期为，正确；的最大值为2，正确：，正确；为奇函数，正确，故选D11由点可得，所以点在圆的内部，设圆的圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离的最大值为，所以，可得当直线的斜率存在时，直线方程，即，所以，解得，所以直线方程为；当直线
9、的斜率不存在时，直线为，不满足题意，故选C12设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，所以，从而，所以双曲的方程为，故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案2【解析】13作出不等式组表示的平面区域如图，由，得，平移直线至，此时直线在轴上的截距最大，有最大值为14展开式中的通项公式为，令，求得，可得的系数是，则实数15由题得，即令，可得或（舍去），在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，则点到直线的最小距离为16记的中点为，连接，可得，则，则外接球的球心在的边的中垂线上，且过正三角形的中点，且在与平面垂直
10、的直线上，过点作于点，如图所示，设外接球的半径为，则，在中，解得，故三棱锥的外接球的体积为三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（1）数列满足当时，得：，故；当时，解得，首项符合通项，故（2）由（1）得：所以18（本小题满分12分）解：（1）列联表如下表所示：对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200，因为，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”（2）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，的分布列为：0123所以19（本小题满分12
11、分）（1）证明：如图，以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，则由，知，平面（2）解：作于点，平面平面，平面故平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，平面与平面夹角的大小为20（本小题满分12分）解：（1）当时，则的定义域为，当和时，；当时，的单调递增区间为，（2）当时，则在上单调递减，若恒成立，则，；当时，令，得：，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又时，与题意矛盾；当时，恒成立，在上单调递增，又时，与题意矛盾综上所述：实数的取值范围为21（本小题满分12分）（1）解：因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，渐近线方程为，所以，在椭圆中，因为，所以，所以双曲线的方程为，椭圆
12、的方程为（2）证明：根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则直线的方程设为，联立，消去，可得，则设，则，所以的中点同理可得的中点，所以直线的斜率，所以直线的方程为，整理可得，所以直线恒过定点；当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，此时过弦，的中点的直线为，经过定点综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点22（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）直线的极坐标方程为根据，转换为直角坐标方程为圆的参数方程为，（其中为参数）转换为直角坐标方程为（2）椭圆的参数方程为，（为参数），转换为直角坐标方程为，把直线的方程转换为参数方程为（为参数），代入，得到，所以23（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（1）当时，不等式，即，解得；当时，不等式的解集为空集；当时，不等式，即，解得，综上所述，原不等式的解集为（2）的解集不是空集，即的最小值小于或等于，由（1）可得，由此可得在上是减函数，在上是常数1，在区间上是增函数，函数的最小值为1，由此可得，即实数的取值范围为
