2020届高考数学（理）课标版二轮习题：中档提升练 第四练 WORD版含解析.docx

1、第四练一、选择题1.(2019课标全国文,11,5分)记不等式组x+y6,2x-y0表示的平面区域为D.命题p:(x,y)D,2x+y9;命题q:(x,y)D,2x+y12.下面给出了四个命题pqpqpqpq这四个命题中,所有真命题的编号是()A.B.C.D.答案A由不等式组画出平面区域D,如图中阴影部分所示,在图中画出直线2x+y=9,可知命题p正确,作出直线2x+y=12,2x+y12表示直线及其下方区域,易知命题q错误.p为假,q为真,pq为真,pq为假,pq为真,pq为假.故真命题的编号为,故选A.2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)=x+a,-1x0

2、,|2-x|,0x0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x2-y2=1B.x22-y22=1C.x24-y24=1D.x28-y28=1答案D由题意得双曲线的左焦点为F(-c,0).由离心率e=ca=2,得c=2a,c2=2a2=a2+b2,即a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=x,则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k=4c=1,得c=4,所以a=b=22,所以双曲线的方程为x28-y28=1,故选D.二、填空题5.已知点A(2,1),O是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足2x-y0,x-2y+30,y0,设z

3、=OPOA,则z的最大值是.答案4解析解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,z=OPOA=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,可知当直线过点C时,z取得最大值.由2x-y=0,x-2y+3=0,得x=1,y=2,即C(1,2),则z的最大值是4.解法二:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=OPOA=2x+y,易知目标函数z=2x+y的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入z=2x+y,对应z的值为0,4,-6,故z的最大值是4.6.在ABC中,A,B,C所对

4、的边分别为a,b,c,已知a2+b2-c2=3ab,且acsin B=23sin C,则ABC的面积为.答案32解析因为a2+b2-c2=3ab,所以由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=3ab2ab=32,又0C,所以C=6.因为acsin B=23sin C,所以结合正弦定理可得abc=23c,所以ab=23.故SABC=12absin C=1223sin 6=32.三、解答题7.如图所示的多面体ABCDEF满足:正方形ABCD与等边三角形FBC所在的平面互相垂直,FBAE且FB=2EA.(1)证明:平面EFD平面ABFE;(2)求二面角E-FD-C的余弦值.解析(1)证明:四边

5、形ABCD是正方形,且三角形FBC是等边三角形,BC􀱀AD,FB=BC,且FBC=60.又2EA􀱀FB,EAD=60.在EAD中,设EA=a,则AD=2a,由余弦定理得DE=a2+4a2-2a2acos60=3a,DE2+AE2=AD2,DEAE.平面ABCD平面FBC,平面ABCD平面FBC=BC,ABBC,且AB平面ABCD,AB平面FBC.BCAD,EAFB,FBBC=B,AEAD=A,且FB,BC平面FBC,EA,AD平面EAD,平面EAD平面FBC,AB平面EAD.又ED平面EAD,ABED.EDEA,EAAB=A,且EA,AB平面ABFE,DE平

6、面ABFE.又DE平面EFD,平面EFD平面ABFE.(2)分别取BC和AD的中点O,G,连接OF,OG.BO=OC,且三角形FBC为等边三角形,FOBC.易知GA􀱀OB,四边形OGAB为平行四边形,OGAB.由(1)可得AB平面FBC,OG平面FBC,故OF,OB,OG两两垂直,以OB,OG,OF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设BC=4,则F(0,0,23),C(-2,0,0),D(-2,-4,0),E(1,-4,3),则DF=(2,4,23),DE=(3,0,3),DC=(0,4,0),设平面DEF的法向量为n=(x1,y1,z1),平面

7、DCF的法向量为m=(x2,y2,z2),则DFn=0,DEn=0,即2x1+4y1+23z1=0,3x1+3z1=0,取x1=3,n=(3,3,-3),DFm=0,DCm=0,即2x2+4y2+23z2=0,4y2=0,取x2=3,m=(3,0,-1),则cos=mn|m|n|=6215=155.又二面角E-FD-C的平面角是钝角,二面角E-FD-C的余弦值为-155.8.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善,郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、5、2个监测站.以9个站点测得的A

8、QI的平均值为依据,播报我市的空气质量.(1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值;(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布情况,11月中仅有一天AQI在170,180)内.组数分组天数第一组50,80)3第二组80,110)4第三组110,140)4第四组140,170)6第五组170,200)5第六组200,230)4第七组230,260)3第八组260,2901郑州市某中学组织学生利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI为标准,若AQI小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的

9、频率作为概率,求该校学生周日进行社会实践活动的概率.在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到的AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望.解析(1)设重度污染区AQI的平均值为x,则742+1145+2x=1189,解得x=172,即重度污染区AQI的平均值为172.(2)由题意知,AQI在170,180)内的天数为1,由表格中的数据可知,AQI在50,170)内的天数为17,故11月AQI小于180的天数为1+17=18,则该校周日进行社会实践活动的概率P=1830=35.由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C183C120C303=2041 015,P(X=1)=C182C121C303=4591 015,P(X=2)=C181C122C303=2971 015,P(X=3)=C180C123C303=11203,则X的分布列为X0123P2041 0154591 0152971 01511203数学期望E(X)=02041 015+14591 015+22971 015+311203=65.