1、第2练1.【选做题】A.选修42:矩阵与变换(2019苏州期末,21A)已知矩阵M=m723的逆矩阵M-1=n-7-2m,求实数m,n.B.选修44:坐标系与参数方程(2019江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知两点A3,4,B2,2,直线l的方程为sin+4=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.选修45:不等式选讲(2019南京三模,21B)若x,y,z为实数,且x2+4y2+9z2=6,求x+2y+6z的最大值.2.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,22)某物理老师准备从3道经典题和5道原创题中随机选择4道题组成一份物理竞赛试卷.(1)求该
2、试卷中至少有1道经典题的概率;(2)根据以往对试卷的评价分析,经典题评价指数一般为a(a为常数),原创题评价指数一般为2a.试卷的评价指数为每道题的评价指数之和,求这份物理竞赛试卷评价指数的概率分布及数学期望.3.(2019如皋期中,23)如图,已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为x=-p2.若抛物线C与直线l:y=2x+m相交于A,B两点,抛物线的焦点在直线l上,线段AB中点到抛物线准线的距离为5.(1)求p,m的值;(2)设点E为抛物线C上一点,若三角形AEB的面积为45,试确定点E的个数,并说明理由.答案精解精析1.A.解析由于MM-1=m723n-7-2m=mn-140
3、2n-6-14+3m=1001,所以mn-14=1,2n-6=0,-14+3m=1,解得m=5,n=3.B.解析(1)设极点为O.在OAB中,A3,4,B2,2,由余弦定理,得AB=32+(2)2-232cos2-4=5.(2)因为直线l的方程为sin+4=3,则直线l过点32,2,倾斜角为34.又B2,2,所以点B到直线l的距离为(32-2)sin34-2=2.C.解析由柯西不等式,得x2+(2y)2+(3z)2(12+12+22)(x+2y+6z)2.因为x2+4y2+9z2=6,所以(x+2y+6z)236,所以-6x+2y+6z6.当且仅当x1=2y1=3z2时取等号,此时x=1,y=
4、12,z=23或x=-1,y=-12,z=-23,所以x+2y+6z的最大值为6.2.解析(1)设“至少有1道经典题”为事件A,则事件A的对立事件A为“没有经典题”.所以P(A)=1-P(A)=1-C54C84=1314.答:该试卷中至少有1道经典题的概率为1314.(2)设表示选用经典题的道数,则的所有可能取值为0,1,2,3.设X为试卷的评价指数,依题意,得X=a+2a(4-),故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.则P(X=8a)=P(=0)=C54C84=114,P(X=7a)=P(=1)=C31C53C84=37,P(X=6a)=P(=2)=C32C52C84=37,P(X=
5、5a)=P(=3)=C33C51C84=114.从而X的概率分布为X8a7a6a5aP1143737114所以E(X)=8a114+7a37+6a37+5a114=132a.3.解析(1)因为抛物线的焦点在直线l上,所以p2=-m2,即m=-p,联立得y2=2px,y=2x-p,消去y,得(2x-p)2=2px,即4x2-6px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p2,则x1+x22=3p4,因为线段AB中点到抛物线准线的距离为5,所以3p4+p2=5,解得p=4,则m=-4.(2)抛物线方程为y2=8x,直线方程为y=2x-4,联立整理得x2-6x+4=0,所以弦AB长为5|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=10.设点E到直线AB的距离为d,则三角形AEB的面积为1210d=45,解得d=45.设平行于AB且与抛物线相切的直线为y=2x+n,联立得y2=8x,y=2x+n,化简得4x2+(4n-8)x+n2=0,=(4n-8)2-16n2=-64n+64=0,n=1,此时切线方程为y=2x+1,其与直线AB的距离为545,而与直线AB的距离为45的点在两条平行直线上,这两条直线与抛物线的交点共有4个,所以符合题意的点E共有4个.
