1、6平面向量数量积的坐标表示, )1问题导航(1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？(2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同？(3)由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？2例题导读 P96例1.通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值 试一试：教材P99练习T1你会吗？ P98例2，P99例3.通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程 试一试：教材P100习题26B组T6你会吗？ P99例4.通过本例学习，学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角
2、试一试：教材P100习题26A组T6你会吗？ 1向量数量积的坐标表示向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和简记为“对应相乘计算和”2两个向量垂直的坐标表示向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20.3度量公式长度公式向量a(x，y)，则|a|或|a|2x2y2距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|夹角公式非零向量a与b的夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有cos 4.直线l的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向
3、向量1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线x2y10的方向向量为(1，2)()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则向量a，b的夹角满足cos .()(3)若A(1，0)，B(0，1)，则|.()解析：(1)错误直线x2y10的方向向量为(1，)(2)错误当a0且b0时，向量a，b的夹角满足cos ，即向量夹角公式的适用范围是a0且b0.(3)正确由两点间的距离公式，得|.答案：(1)(2)(3)2已知向量a(4，7)，向量b(5，2)，则ab的值是()A34 B27C43 D6解析：选D.因为a(4，7)，b(5，2)，所以ab(4，7)(5，2)457220146.3已
4、知向量a(1，)，b(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m()A2 BC0 D解析：选B.因为ab(1，)(3，m)3m，又abcos，所以3mcos，所以m.1对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点P(x，y)，使得a(x，y)，故|a|，即|a|为点P到原点的距离；同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，故|，即平面直角
5、坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算2在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系(2)当a，b是坐标形式时，则可直接利用公式cos (其中a(x1，y1)，b(x2，y2)求解3如何用向量所成的角来判断直线所成的角可以借助向量所成的角来判断直线所成的角，但必须注意两者的范围不同，向量夹角的范围是0，而直线夹角的范围是.设m，n分别为直线l1，l2(l1与l2不重合)的方向向量，为m与n的夹角，为l1与l2所成的角，则(1)当0或180时，l1l2，此时0
6、，(2)当090时，l1与l2所成的角，(3)当900且a，b不同向由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是(2，)(，)(2)amb(32m，4m)，ab(1，5)，因为(amb)(ab)，所以(amb)(ab)0，即(32m)1(4m)50，所以m.本例(1)条件换成“a与b的夹角为钝角”，求实数k的取值范围解：若a与b的夹角为钝角，则ab0且a，b不反向，由ab2k0得k2，经检验对k2的所有值均满足a与b的夹角为钝角，即实数k的取值范围是(，2)方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤2(1)已知a(1，1)，b(0，2)，若kab与ab的夹角为120，则k的值为()A1 B1C1
7、D1(2)在ABC中，(2，3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值解：(1)选C.因为a(1，1)，b(0，2)，所以kab(k，k2)，ab(1，1)，所以|kab|，|ab|.所以(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，又kab与ab的夹角为120，所以cos 120.整理得k22k20，解得k1.(2)当A90时，0，所以213k0，所以k；当B90时，0，(12，k3)(1，k3)，所以2(1)3(k3)0，所以k；当C90时，0，所以1k(k3)0，所以k.平面向量数量积的综合运用已知ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC边上的高为A
8、D，求：(1)D点的坐标以及|；(2)判断ABC的形状，并说明理由(链接教材P100习题26 A组T2、T5)解(1)设D点的坐标为(x，y)，由题意可知BCAD，又B，C，D三点共线，故，因为(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，所以解得所以，所以|，所以D点的坐标为，|.(2)因为(5，2)，(1，1)，所以(5)1(2)17，|，|.所以cos A0，所以A为钝角所以ABC为钝角三角形方法归纳利用平面向量解决平面几何问题时，就是将几何中的平行、垂直、线段的长、夹角等问题转化为求向量的共线，数量积模长及向量的夹角等运算，即将“形”的求解与证明转化为“数”运算问题解决此类问题的关键就是
9、建立恰当的直角坐标系，使几何中的元素用向量表示3(1)已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_(2)如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形，试用向量的方法证明PAEF.解：(1)因为a(1，1)，b(，1)，所以|a|，|b|，ab1.因为a，b的夹角为钝角，所以即所以1且1，所以的取值范围是(，1)(1，1)故填(，1)(1，1)(2)证明：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系设正方形的边长为1，|，则A(0，1)，P，E，F，于是，.因为00，所以，即PAEF.规范解答与数量积的坐标运算相关的综合问
10、题的解法(本题满分12分)已知(2，1)，(1，7)，(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取到最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.解(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，2分设t，则(2t，t)(12t，7t)，(52t，1t)，4分(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28，6分当t2时，取得最小值，此时(4，2)8分(2)当(4，2)时，(3，5)，(1，1)，所以|，|，8，所以cosACB.12分规范与警示(1)在处，由向量与共线建立关系式t，是正确解答本题的关键，易因想不到此关系造成失分在处，利用向量的
11、线性运算得到，的坐标，是正确建立数量积“”的函数关系的关键，也是失分点(2)注意隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量与共线”注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问1已知向量a(2，1)，b(3，x)，若ab3，则x()A6 B5C4 D3解析：选D.根据平面向量坐标下的运算法则，可知ab23(1)x6x3，求解方程可以得到x3，故选D.2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|()A2 BC1 D4解析：选A.由题意得(
12、2ab)b(3，n)(1，n)3n20，所以n23，|a|2.3设向量a与b的夹角为，且a(3，3)，2ba(1，1)，则cos _解析：b(1，2)，cos .答案：4已知a(4，3)，b(2，1)，若atb与b的夹角为45，则实数t_解析：因为a(4，3)，b(2，1)，所以atb(2t4，t3)，所以(atb)b5t5，又因为|atb|，|b|，且(atb)b|atb|b|cos 45，所以5t5，整理得t22t30，解得t1或t3，经检验知t3不成立，故t1.答案：1A.基础达标1设向量a(2，0)，b(1，1)，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabC(ab)b Dab解析：选
13、C.因为a(2，0)，b(1，1)，所以|a|2，|b|，故|a|b|，A错误；ab(2，0)(1，1)21012，故B错误；因为ab(1，1)，所以(ab)b(1，1)(1，1)0，所以(ab)b，故C正确因为21010，所以a与b不共线，故D错误2已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0C3 D解析：选C.因为a(k，3)，b(1，4)，所以2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6)因为(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2，1)2(2k3)60，解得k3.故选C.3若a(x，2)，b(3，5)，且a与b的夹角是钝角，则实数
14、x的取值范围是()A. BC. D解析：选C.x应满足(x，2)(3，5)且x，所以x.4如图是函数ytan的部分图像，则等于()A4 B4C2 D2解析：选B.令tan1，结合图像可得x3，即B(3，1)，令tan0，结合图像可得x2，即A(2，0)，从而(3，1)，(1，1)，4，故选B.5在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C在第二象限内，AOC，且|2，若，则，的值是()A.，1 B1，C1， D，1解析：选D.因为AOC，所以BOC.因为(，)，所以(，)(1，0)|cos，即2()，(，)(0，1)|cos，即21.所以，1，故选D.6已知点A(1，1)、B
15、(1，2)、C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为_解析：因为(2，1)，(5，5)，所以(2，1)(5，5)15，|.所以向量在方向上的投影为|cos，3.答案：37若M(2，0)，N(0，2)，且点P满足，O为坐标原点，则_解析：设P(x，y)，由，得(x2，y)(2，2)(1，1)，所以所以所以(2，0)(1，1)2.答案：28若a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_解析：因为ab，所以x4，所以b(4，2)，所以ab(6，3)，bc(1，2y)，因为(ab)(bc)，所以(ab)(bc)0，即63(2y
16、)0，所以y4，故向量(8，8)，|8.答案：89已知向量a(2，4)，b(6，4)(1)当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？(2)当k为何值时，kab与a3b垂直？解：因为a(2，4)，b(6，4)，所以kabk(2，4)(6，4)(2k6，4k4)，a3b(2，4)3(6，4)(20，8)(1)因为(kab)(a3b)，所以8(2k6)20(4k4)，解得k.这时kab(，)，所以当k时，kab与a3b平行，并且它们是反向的(2)因为kab与a3b垂直，所以(kab)(a3b)0，即(2k6，4k4)(20，8)0，即40k12032k320，解得k19.即当k19
17、时，kab与a3b垂直10已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sin ，cos )(1)若|，求tan 的值；(2)若(2)1，其中O为坐标原点，求sin cos 的值解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2sin ，cos )，所以(2sin 1，cos )，(2sin ，cos 1)，因为|，所以，化简得2sin cos .因为cos 0(若cos 0，则sin 1，上式不成立)，所以tan .(2)因为(1，0)，(0，1)，(2sin ，cos )，所以2(1，2)，因为(2)1，所以2sin 2cos 1，所以sin cos .B.能力提升1在四边形ABCD中，(1，2)
18、，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B2C5 D10解析：选C.因为(1，2)(4，2)440，所以，所以S四边形ABCD|25.2在边长为1的正三角形ABC中，E是CA的中点，则()A BC D解析：选B.法一：如图，建立直角坐标系，则A(1，0)，B(0，0)，C，D，E，.法二：设a，b，则|a|b|1，a与b的夹角为60.ba，ab，所以(ba)(ab)a2b2abcos 60.3已知平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_解析：因为向量a(1，2)，b(4，2)，所以cmab(m4，2m2)，所以acm42(2m2)5m8，b
19、c4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以，即，所以，解得m2.答案：24已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC，若1，则_解析：以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，1)，B(，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得(1)(，1)，(1)(，1)因为，所以3(1)(1)(1)(1)，即(1)(1).因为(，1)，(，1)，又1，所以(1)(1)2.由整理得.答案：5已知a(，1)，b，且存在实数k和t，使ma(t23)b，nkatb，且mn，试求的最大值解：因为a
20、(，1)，b，所以ma(t23)b，nkatb，又mn，所以mn0，即0，所以4kt(t23)0，所以k，所以t(t24t3)(t2)2，故当t2时，有最大值.6(选做题)已知a(2xy1，xy2)，b(2，2)，(1)当x，y为何值时，a与b共线？(2)是否存在实数x，y，使得ab，且|a|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为a与b共线，所以存在实数，使得ab，所以解得所以当x，y为任意实数时，a与b共线(2)由abab0(2xy1)2(xy2)(2)0x2y30.由|a|b|(2xy1)2(xy2)28.联立解得或，所以xy1或xy.所以存在实数x，y，使得ab，且|a|b|，此时xy1或xy.