1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 三角函数的图像与性质 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图像，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数 ysin x，x0，2的图像中，五个关键点是：(0，0)，2，1，(，0)，_，(2，0).(2)余弦函数 ycos x，x0，2的图像中，五个关键点是：(0，1)，2，0，_，32，0，(2，1
2、).32，1(，1)基础诊断考点突破课堂总结2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ)函数ysin xycos xytan x图像定义域RR_xxR，且xk2基础诊断考点突破课堂总结值域_R周期性2_奇偶性_奇函数递增区间 _ _ _递减区间 _ _无对称中心_k2，0对称轴方程_无1，11，12奇函数偶函数2k2，2k22k，2kk2，k22k2，2k322k，2k(k，0)k2，0 xk2xk基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)由 sin623 sin 6知，23 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期.()(2)余
3、弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴.()(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数.()(4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.()(5)ysin|x|是偶函数.()基础诊断考点突破课堂总结解析(1)函数 ysin x 的周期是 2k(kZ).(2)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(3)正切函数 ytan x 在每一个区间k2，k2(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当 k0 时，ymaxk1；当 k0，由得8x8，由得 sin x12，由正弦曲线得62kx562k(kZ).所以不等式组的解集为
4、116，76 6，56 136，8.答 案 (1)D (2)x|562kx562k，kZ (3)116，76 6，56 136，8基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)三角函数定义域的求法 以正切函数为例，应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域.转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.(2)简单三角不等式的解法 利用三角函数线求解.利用三角函数的图像求解.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由 2xk2，kZ，得 xk2 4，kZ，ytan 2x 的定义域为x|xk2 4，kZ.【训练 1】(1)函数 ytan 2x 的定义域是()A.x|xk4，kZB.x|xk2
5、 8，kZC.x|xk8，kZD.x|xk2 4，kZ(2)函数 y sin xcos x的定义域为_.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出0，2上 ysin x 和 ycos x 的图像，如图所示.在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余 弦 函 数 的 周 期 是2 ，所 以 原 函 数 的 定 义 域 为x|2k4 x2k54，kZ.基础诊断考点突破课堂总结法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为x2k4x2k54，kZ.基础诊断考点突破课堂
6、总结法三 sin xcos x 2sinx4 0，将 x4 视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图像和性质可知 2kx4 2k(kZ)，解得 2k4 x2k54(kZ).所以定义域为x|2k4 x2k54，kZ.基础诊断考点突破课堂总结解得 2k4x2k54(kZ).所以定义域为x2k4x2k54，kZ.答案(1)D(2)x2k4x2k54，kZ基础诊断考点突破课堂总结考点二 三角函数的值域(最值)【例 2】(1)函数 y2sin x1，x76，136 的值域是()A.3，1 B.2，1 C.(3，1 D.(2，1(2)(2016全国卷)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为
7、()A.4 B.5 C.6 D.7(3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由正弦曲线知 ysin x 在76，136 上，1sin x12，所以函数 y2sin x1，x76，136 的值域是(2，1.(2)由 f(x)cos 2x6cos2x 12sin2x6sin x2sin x322112，所以当 sin x1 时函数的最大值为 5，故选 B.基础诊断考点突破课堂总结(3)设 tsin xcos x，则 t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x1t22，且 2t 2.yt22t1212(t1)21.
8、当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2.函数的值域为12 2，1.答案(1)D(2)B(3)12 2，1基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2017宝鸡
9、调研)函数 y2sin6 x3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A.2 3B.0 C.1 D.1 3(2)(2017郑州模拟)已知函数 f(x)sinx6，其中 x3，a，若 f(x)的值域是12，1，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)因为 0 x9，所以3 6 x3 76，所以 sin6 x3 32，1.所以 y 3，2，所以 ymaxymin2 3.选 A.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 x3，a，知 x6 6，a6.x6 6，2 时，f(x)的值域为12，1，由函数的图像知2 a6 76，所以3 a.答案(1)A(2)3，基础诊断考点突破课堂总结考点三 三角函数的性质(多维探究
10、)命题角度一 三角函数的奇偶性与周期性【例 31】(1)(2016上饶模拟)函数 y2cos2x4 1 是()A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数(2)(2017衡水中学金卷)设函数 f(x)sin12x 3cos12x|2 的图像关于 y 轴对称，则()A.6B.6C.3D.3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)y2cos2x4 1cos2x4 cos2x2cos22x sin 2x，则函数为最小正周期为 的奇函数.(2)f(x)sin12x 3cos12x 2sin12x3，由题意可得 f(0)2sin3 2，即 sin3
11、1，32k(kZ)，56 k(kZ)，|0)在区间2，23 上是增函数，则 的取值范围是_.解析(1)由已知可得函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3 的单调增区间.由 2k22x32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.故所求函数的单调递减区间为k 12，k512(kZ).基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 由 2k2x2k2，kZ，得 f(x)的增区间是2k 2，2k 2(kZ).因为 f(x)在2，23 上是增函数，所以2，23 2，2.所以2 2且23 2，所以 0，34.法二 因为 x2，23，0.所以 x2，23，又 f(x)在区间2，23 上是增
12、函数，所以2，232，2，则2 2，23 2，又 0，得 00，得 034.答案(1)k 12，k512(kZ)(2)0，34基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.基础诊断考点突破课堂总结命题角度三 三角
13、函数的对称轴或对称中心【例 33】(1)(2017陕西适应性测试)若函数 f(x)2sin(4x)(0，|2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图像的对称轴，且 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为()A.11 B.9C.7 D.5基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题可得，4 242k，kZ，3k，kZ，0，函数 f(x)cosx4 在2，上单调递增，则 的取值范围是()A.12，54B.12，74C.34，94D.32，74基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为 f(x)cos2x52 cos22x sin 2x，f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以 f(x)
14、sin 2x 是奇函数，所以 f(x)的图像关于原点对称.故选 A.(2)函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ，则2 42k，42k(kZ)，解得 4k522k14，kZ，又由 4k522k14 0，kZ 且 2k140，kZ，得 k1，所以 32，74.答案(1)A(2)D 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质.3.数形结合是本讲的重要数学思想.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.