1、第5章 2 复数的四则运算A级基础巩固一、选择题1(2019郑州高二检测)设复数zabi(a、bR)，若2i成立，则点P(a，b)在(A)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析2i，z(2i)(1i)3i，a3，b1，点P(a，b)在第一象限2设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2(A)A5B5C4iD4i解析本题考查复数的乘法，复数的几何意义z12i，z1与z2关于虚轴对称，z22i，z1z2145，故选A.3(2019北京卷理，1)已知复数z2i，则z(D)ABC3D5解析方法1： z2i， 2i， z(2i)(2i)5.故选D.方法2： z2i， z|
2、z|25.故选D.4(2019长安一中质检)设zi(i是数单位)，则z2z23z34z45z56z6(C)A6zB6z2C6D6z解析z2i，z31，z4i，z5i，z61，原式(i)(1i)(3)(22i)(i)633i6(i)6.二、填空题5已知z1cosisin，z2cosisin且z1z2i，则cos()的值为.解析z1cosisin，z2cosisin，z1z2(coscos)i(sinsin)i，22得22cos()1，即cos().6设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1i)3i，则|z2|.解析z1(1i)3i，z12i，A与B关于x轴
3、对称，z1与z2互为共轭复数，z212i，|z2|.三、解答题7已知复数z1i，求实数a，b，使得az2b (a2z)2.解析因为z1i，所以az2b (a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.因为a，b都是实数，所以由az2b (a2z)2，得两式相加，整理得a26a80，解得a12，a24，相应得b11，b22，所以所求实数为a2，b1或a4，b2.8已知z是虚数，且z是实数，求证：是纯虚数证明设zxyi，x，yR，且y0.由已知得z(xyi)xyi(x)(y)i.z是实数，y0，即x2y21，且x1，i.y0，x1，是纯虚数B级素养提升一、选择
4、题1若z43i，则(D)A1B1CiDi解析|z|5，43i，则i.2复数z满足方程4，那么复数z在复平面内的对应点Z的轨迹是(C)A以(1，1)为圆心，4为半径的圆B以(1，1)为圆心，2为半径的圆C以(1,1)为圆心，4为半径的圆D以(1,1)为圆心，2为半径的圆解析|z(1i)|z(1i)|4，设1i的对应点为C(1,1)，则|ZC|4，因此动点Z的轨迹是以C(1,1)为圆心，4为半径的圆，故应选C.二、填空题3i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值是2.解析(12i)(ai)a2(12a)i，该复数为纯虚数，所以a20，且12a0，所以a2.4已知f(z)|1z|
5、且f(z)103i，则复数z53i.解析设zxyi(x，yR)，则zxyi，由f(z)103i，得|1(z)|()103i，|(1x)yi|(xyi)103i，解之得x5，y3，所以z53i.三、解答题5已知z1是虚数，z2z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若，求证：为纯虚数解析设z1abi(a，bR，且b0)(1)z2z1abi(a)(b)i.因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，所以z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围是，(2)i.因为a，b0.所以为纯虚数6已知若z1，z2是非零复数，且|z1z2|z1
6、z2|，求证：是纯虚数证明证法一：设z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R且a1与b1、a2与b2不同时为0)，由|z1z2|z1z2|，得a1a2b1b20，于是i.因为z0，所以b1a2a1b20，即是纯虚数证法二：将已知等式变形为|z2|1|z2|1|，故|1|1|，设abi(a，bR)，则有(a1)2b2(a1)2b2，从而解得a0，又0，故b0，所以为纯虚数证法三：将已知等式变形为|z2|1|z2|1|，故|1|1|，令z，则原等式化为|z1|z1|，而变形后的几何意义是：表示点Z到两定点A(1,0)、B(1,0)的距离相等，则动点Z的图形就是AB的垂直平分线，即y轴(原点除外)，于是有zai(aR，a0)所以为纯虚数C级能力拔高(2019潍坊高二检测)已知z为虚数，z为实数(1)若z2为纯虚数，求虚数z；(2)求|z4|的取值范围解析(1)设zxyi(x，yR，y0)，则z2x2yi，由z2为纯虚数得x2，所以z2yi，则z2yi2(y)iR，得y0，y3，所以z23i或z23i.(2)因为zxyixyiR，所以y0，因为y0，所以(x2)2y29，由(x2)29得x(1,5)，所以|z4|xyi4|(1,5)