1、第一部分专题四第1讲题型对应题号1.空间几何体的三视图和直观图1,2,4,52.空间几何体的表面积与体积3,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 基础热身(建议用时：40分钟)1如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()ABCDD解析 先观察俯视图，由俯视图可知B项和D项中的一个正确，由正视图和侧视图可知D项正确故选D项2(2019安徽安庆模拟)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为AMNA1，则蚂蚁爬行的最短路程是()ABCDA解析 正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，
2、宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程因此蚂蚁爬行的最短路程为.故选A项3(2019山西太原模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A2BC3DA解析 该几何体还原后是一个四棱锥，如图所示，其中底面是以1,2为上、下底边长，高为2的直角梯形，该棱锥的高为2，所以其体积为V(12)222.故选A项4(2019北京海淀区模拟)某四棱锥的三视图如图所示，其中ab1，且ab.若四个侧面的面积中最小的为，则a的值为()ABCDB解析 该几何体的直观图如图所示，因为ab，所以APD和APB的面积相等且最小，即ab，所以解得a.故选B项5某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则x
3、y的最大值为()A32B32 C64D64C解析 由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC是直角三角形，ABBC，PA平面ABC，BC2，PA2y2102，(2)2PA2x2，因此xyxx64，当且仅当x2128x2，即x8时，等号成立，因此xy的最大值是64.故选C项6(2019湖北襄阳质检)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()AB CD4B解析 由几何体的三视图可知该几何体为四棱锥PABCD，将其放在正方体中，如图所示，由于正方体中PBC为直角三角形，其面积为SPBC121.连接BD，而点D到平面PBC的距离为2.因此V三棱锥DPBCSP
4、BC2.故V四棱锥PABCD2V三棱锥DPBC.故选B项7(2019辽宁东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为()AB2 C3D4B解析 设圆锥的底面圆半径为R，则有2R3，所以R1，设圆锥的内切球半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥母线长为3，所以h2，所以有，解得r，因此内切球的表面积为S4r22.故选B项8(2019河北武邑中学质检)已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，且BAC，AC2AB，PA1，BC3，则该三棱锥的外接球的体积等于()ABCDA解析 如图，设ABC外接圆的圆心为O1，半径
5、为r，则2r2，所以r.由题意得球心O在过O1且与平面ABC垂直的直线HO1上，令HO1PA1，OO1d，则OH1d，设球半径为R，则在RtOO1B中，有R2d2r2，在RtOHP中，有R2(1d)2r2，由两式得d，所以R22()2，所以R，所以该三棱锥的外接球的体积为VR33.故选A项9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析 如图所示，该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体四棱柱底面的面积为2，高为2，四棱锥底面的面积为2，高为，则该几何体的体积V222.答案 10在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2，AB2，AC1，BAC60，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析 因
6、为AB2，AC1，BAC60，利用余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2，所以ACBC又因为PA平面ABC，所以三棱锥PABC是长为1，宽为 ，高为2的长方体的一部分(如图)，所以三棱锥PABC外接球的半径为，所以其外接球的表面积为4()28.答案 8 能力提升(建议用时：25分钟)11某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()AB CDA解析 由三视图可知该几何体是一个圆锥，其底面半径r1，母线长l3，所以其高h2.故该圆锥的体积Vr2h122.由题意可得加工后的正方体是该圆锥内接正方体
7、，如图1所示，过正方体的体对角线的顶点作轴截面如图2所示，则EG为上底面正方形的对角线，设正方体棱长为a，则EGa.图1图2由轴截面相似三角形可得，解得a，则正方体的体积V1a3，故原工件的材料利用率为.故选A项12(2019广西三市期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A1B(6)1CD(6)A解析 由三视图可知，该几何体是由半个底面半径为1，高为1的圆锥与一个底面半径为1，高为2的圆柱拼接而成所以该几何体的表面积S2141.故选A项13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为()AB3CDA解析 由三视图可知，该几何体是一个侧面和底面垂直的三棱锥，其中底面三角
8、形BAC为直角三角形，PA底面ABC，AB2，PC4，设ACx,0x4，则PA，所以三棱锥的体积为2x，当且仅当x，即x28，x2时，等号成立，此时体积有最大值为.故选A项14在半径为5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若ABACAD2，则平面BCD被球所截得的图形的面积为_解析 如图所示，过点A作平面BCD的垂线AO，连接OO，OB，则O，O，A三点在一条直线上，设BCD所在截面的半径为r，则OO，AO5.在RtAOB中，AB2OB2OA2，则20r2(5)2，解得r4，所以所求图形的面积Sr216.答案 1615我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠基成立积，缘
9、幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如图中正方体ABCDA1B1C1D1，求图中四分之一的圆柱体BB1C1AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1DD1C1公共部分的体积V，若图中正方体的棱长为2，则V_.(在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得四棱锥C1ABCD所得面积为S3，S1R2h2，S2R2，S3h2，S2S1S3)解析 由题意可
10、知，用平行于底面的平面截得的面积满足S2S1S3，其中S1表示两个圆柱的公共部分的截面面积，S2表示截得正方体的截面面积，S3表示截得锥体的截面面积由祖暅原理可知，正方体体积减去两个圆柱的公共部分体积等于锥体体积，即23V222，即V23222.答案 16表面积为60的球面上有四点S，A，B，C，且ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为 ，若平面SAB平面ABC，则三棱锥SABC体积的最大值为_解析 设球O的半径为R，则有4R260，解得R.由于平面SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D在AB上，如图，当球心O在三棱锥SABC中，且D为AB的中点时，SD最大，三棱锥SABC的体积最大设O为等边三角形ABC的中心，则OO平面ABC，即有OOSD由于OCR，OO，则CO2，则DO，则ABC是边长为6的等边三角形，则ABC的面积为639，在直角梯形SDOO中，作OMSD于M，则OMDO，DMOO，所以可以得到SDDMMS3，所以三棱锥SABC体积的最大值为9327.答案 27