1、1.2函数的极值学 习 目 标核 心 素 养1理解函数的极大值和极小值的概念(难点)2掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值(重点、难点)1借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养2通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数
2、yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值提醒在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小3极值的判断方法如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值4求函数yf(x)极值点的步骤(1)求出导数f(x)(2)解方程f(x)0.(3)对于方程f(x)0
3、的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点思考：导数为0的点都是极值点吗？提示不一定，如f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反1下列四个函数中，在x0处取得极值的函数是()yx3；yx21；y|x|；y2x.ABC DBy3x20恒成立，所以函数yx3在R上单调递增，无极值点
4、，不符合；y2x，当x0时，函数yx21单调递增，当x0时，函数yx21单调递减，符合；结合该函数图像可知，函数y|x|在(0，)上单调递增，在(，0上单调递减，符合；函数y2x在R上单调递增，无极值点，不符合2函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值C由y3x26x90，得x1或x3.当x1或x3时，y0；由1x3时，y0，当x1时，函数有极大值5；3(2,2)，故无极小值3函数f(x)x33x21在x_处取得极小值2由f(x)x33x21，得f(x)3x26x3x(x2)当x(0,2)时，f(x)0，f(x)
5、为增函数故当x2时，函数f(x)取得极小值求函数的极值【例1】求下列函数的极值(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x36；(3)f(x)|x|.解(1)f(x)2x2，令f(x)0，解得x1因为当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以函数在x1处有极小值，且f(x)极小值2(2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2令f(x)0，解得x10，x21所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当x0时，函数取得极小值，且f(x)极小值6.(3)f(x)|x|显然函数f(x)|x|在x
6、0处不可导，当x0时，f(x)x10，函数f(x)|x|在(0，)内单调递增；当x0时，f(x)(x)10，函数f(x)|x|在(，0)内单调递减故当x0时，函数取得极小值，且f(x)极小值0.极值点与导数的关系1可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：(1)f(x0)0；(2)点x0两侧f(x)的符号不同2不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x0点)，也可能不是极值点(如y，在x0处不可导，在x0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f(x)0的根，也可能是不可导点1已知函数f(x)x22ln x，则
7、f(x)的极小值是_1f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，当x1时，函数有极小值，极小值为f(1)1利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值思路探究：(1)求导函数f(x)，则由x1和x是f(x)0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(1)求出c，再列表求解解(1)f(x)3x22axb，令f(x)0，由题设知x1与x为f(x)0的解a，b2(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1，f(x)x3
8、x22x1，f(x)3x2x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的递增区间为和(1，)，递减区间为.当x时，f(x)有极大值为f；当x1时，f(x)有极小值为f(1).已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(
9、1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3，故实数m的取值范围是(3，)函数极值的综合应用探究问题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示一个x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点，x1，x3是极大值点2函数yf(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示不一定，若函数yf(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点【例3】已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围
10、思路探究：求出函数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图像与x轴有三个交点，如图由已知应有解得2a2，故实数a的取值范围是(2,2)1本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？解由已知应有2a0.即a2或a0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(
11、1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点1函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”2极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点3函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小4若函数f(x)在a，b上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻
12、两个极小值点之间必有一个极大值点1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有两个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)2已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4B2C4 D2D由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数f(x)在x2处取得极小值，a23设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围为_(，1)yexax，yexa，令yexa0，则exa，即xln(a)，又x0，a1，即a14求函数yx44x35的极值解y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y单调递减5单调递减22单调递增故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22，无极大值